Question

一直角三角形放置在如圖的平面直角坐標系中，直角頂點C剛好落在雙曲線y=

8

x

（x＞0）的一支上，兩直角邊分別與y軸、x軸交于A、B兩點．若CA=CB，則四邊形CAOB的面積是

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,反比例函數系數k的幾何意義

專題：

分析：作CE垂直x軸于點E，AF⊥CE于點F，CM垂直于y軸于點M，AC交x軸于點N，求出△AFC≌△CEB得到AF=CE=2

2

，再運用四邊形CAOB的面積=正方形MOEC的面積．

解答：解：作CE垂直x軸于點E，AF⊥CE于點F，CM垂直于y軸于點M，AC交x軸于點N，
∵∠NOA=∠NCB=90°，∠ANO=∠BNC，
∴△ANO∽△CNB，
∴∠NAO=∠NBC，
又∵AO∥CE，
∴∠NAO=∠ACF，
∴∠ACF=∠NBC也就是∠ACF=∠EBC
∵∠AFC=∠CEB=90°，AC=AB，
在△AFC和△CEB中，

∠AFC=∠CEB ∠ACF=∠EBC AC=BC

，
∴△AFC≌△CEB（AAS），
∴AF=CE，
∴雙曲線y=

8

x

在C點的橫坐標等于縱坐標，
∴x=

8

x

，
解得x=2

2

，
∴AF=CE=OE=2

2

，
又∵△MAC的面積=△AFC的面積=△CEB的面積，
∴四邊形CAOB的面積=正方形MOEC的面積=2

2

×2

2

=8，
故答案為：8．

點評：本題主要考查全等三角形的判定及性質與反比例函數的知識，解決本題的關鍵是把四邊形CAOB的面積轉化為正方形MOEC的面積．