【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線過點(diǎn),,這條拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為射線CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)D為此拋物線對稱軸上一點(diǎn),且CPD=.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,△PCD的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)過點(diǎn)P作PE⊥DP,連接DE,F為DE的中點(diǎn),試求線段BF的最小值.
【答案】(1);(2)(m<3);(3).
【解析】
試題(1)由拋物線過點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系,應(yīng)用待定系數(shù)法求解即可.
(2)證明△PCD是等邊三角形,用m表示CP和PG,由即可求得S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)通過證明△CPF≌△CDF得∠PCF=∠DCF,根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)知線段BF 的最小值為點(diǎn)B到直線CF的距離.
(1)依題意,得,解得.
∴拋物線的解析式為,即.
(2)∵,∴拋物線的對稱軸為.∴C(3,0).
∵,∴.∴.
∴∠OCB=.∴∠PCD=.
∵∠CPD=,∴∠CDP=.∴△PCD是等邊三角形.
如圖,過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,PG∥x軸,交CD于點(diǎn)G,
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,∴OQ=m,CQ=3-m.
∴,PG=CQ=3-m.
∴,即(m<3).
(3)如圖,連接PF、CF.
∵PE⊥DP,F為DE的中點(diǎn),∴PF==DF.
∵CP=CD,CF=CF,∴△CPF≌△CDF.∴∠PCF=∠DCF.
∴點(diǎn)F在∠PCD的平分線所在的直線上.
∴BF的最小值為點(diǎn)B到直線CF的距離.
∵∠OCB=∠BCF=,∴點(diǎn)B到直線CF的距離等于OB.
∴BF的最小值為.
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【題目】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上,AB=AC,⊙O的半徑等于10cm,圓心O到BC的距離為6cm,則AB的長等于____.
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【題目】如圖,點(diǎn)O在△ABC內(nèi),點(diǎn)P、Q、R分別在邊AB、BC、CA上,且OP∥BC,OQ∥CA,OR∥AB,OP=OQ=OR=x,BC=a,CA=b,AB=c,則x=( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,G為⊙O上一點(diǎn),連接AG交CD于K,在CD的延長線上取一點(diǎn)E,使EG=EK,EG的延長線交AB的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)連接DG,若AC∥EF時(shí).
①求證:△KGD∽△KEG;
②若cosC=,AK=,求BF的長.
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【題目】如圖,在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn),則AC的長是__.
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【題目】“綠水青山就是金山銀山”,高新區(qū)凌水河治理工程正式啟動(dòng),若由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成需10個(gè)月;若由甲、乙兩工程隊(duì)合做4個(gè)月后,剩下工程由乙工程隊(duì)再做5個(gè)月可以完成。(1)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需幾個(gè)月的時(shí)間?
(2)已知甲工程隊(duì)每月施工費(fèi)用為15萬元,比乙工程隊(duì)多6萬元,按要求該工程總費(fèi)用不超過141萬元,工程必須在一年內(nèi)竣工(包括12個(gè)月).為了確保經(jīng)費(fèi)和工期,采取甲、乙工程隊(duì)同時(shí)開工,甲工程隊(duì)做個(gè)月,乙工程隊(duì)做個(gè)月(均為整數(shù))分工合作的方式施工,問有哪幾種施工方案?
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【題目】如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),F是AM的中點(diǎn),EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長線于點(diǎn)E,交DC于點(diǎn)N.
(1)求證:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的長.
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