【題目】如圖,以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,OC所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.已知OA=3,OC=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),在OA上取一點(diǎn)D,將△BDA沿BD翻折,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處.

(1)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo);

(2)設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P,且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,求該拋物線的解析式;

(3)在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小?如果存在,求出周長(zhǎng)的最小值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)E(3,1),F(1,2);(2);(3)存在,最小四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值是5+

【解析】分析:(1)BDA沿BD翻折,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處,可以知道四邊形ADFB是正方形,因而BF=AB=OC=2,則CF=3-2=1,因而E、F的坐標(biāo)就可以求出.(2)頂點(diǎn)為F的坐標(biāo)根據(jù)第一問(wèn)可以求得是(1,2),因而拋物線的解析式可以設(shè)為y=a(x-1)2+2,以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,應(yīng)分EF是腰和底邊兩種情況進(jìn)行討論.

當(dāng)EF是腰,EF=PF時(shí),已知E、F點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出EF的長(zhǎng),設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,n),根據(jù)勾股定理就可以求出n的值.得到P的坐標(biāo).當(dāng)EF是腰,EF=EP時(shí),可以判斷Ey軸的最短距離與EF的大小關(guān)系,只有當(dāng)EF大于Ey軸的距離,P才存在.

當(dāng)EF是底邊時(shí),EP=FP,根據(jù)勾股定理就可以得到關(guān)于n的方程,就可以解得n的值.

(3)作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′,作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′,連接E′F′,分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M,N,則點(diǎn)M,N就是所求點(diǎn).求出線段E′F′的長(zhǎng)度,就是四邊形MNFE的周長(zhǎng)的最小值.

本題解析:(1)E(3,1);F(1,2).

(2)RtEBF,B=90,EF=

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,n),其中n>0,∵頂點(diǎn)F(1,2),

∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x1) +2(a≠0).

①如圖1,

當(dāng)EF=PF時(shí), ,

.

解得 (舍去); .

P(0,4).

4=a(01) +2.

解得a=2.

∴拋物線的解析式為y=2(x1) +2

②如圖2,

當(dāng)EP=FP時(shí),EP=FP,(2n) +1=(1n) +9.解得n= (舍去)

③當(dāng)EF=EP時(shí),EP=<3,這種情況不存在。

綜上所述,符合條件的拋物線解析式是y=2(x1) +2.

(3)存在點(diǎn)M,N,使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小。

如圖3,作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′,作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′,

連接EF,分別與x軸、y軸交于點(diǎn)MN,則點(diǎn)M,N就是所求點(diǎn)。

E′(3,1),F′(1,2),NF=NF′,ME=ME′.BF′=4,BE′=3.

FN+NM+ME=FN+NM+ME′=EF′=.

又∵EF=,

FN+MN+ME+EF=5+,此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值是5+.

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