如圖,△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,0)、B(6,0)、C(0,),拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)。
(1)求直線AC的解析式;
(2)求拋物線的解析式;
(3)若拋物線的頂點(diǎn)為D,在直線AC上是否存一點(diǎn)P,使得△BDP的周長最小,若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
解(1)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b
∵A(-2,0),C(0,-2),∴,∴
∴………………………………………………………………………(2分)
(2)∵A(-2,0),B(6,0),C(0,-2),拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點(diǎn)
∴,∴
∴所求拋物線方程為…………(4分)
(3)存在滿足條件的點(diǎn)P。
∵拋物線方程為,
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要使△BDP的周長最小,只需DP+PB最小,
延長BC到點(diǎn)B′,使,連接交直線AC于點(diǎn)P
∵BC⊥AC,∴,
∴DP+BP=DP+最小,則此時△BDP的周長最小,
∴點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)
過點(diǎn)B′作⊥AB于點(diǎn)H,∵B(6,0),C(0,)
∴在Rt△BOC中,∴BC=4
∵OC//,,
∴OH=BO=6,,∴……………………………(8分)
設(shè)直線的解析式為y=mx+n,
∵D,在直線上,∴ ∴
∴………………………………………………………………(9分)
∵,∴,∴
∴在直線AC上存在點(diǎn)P,使得△BDP的周長最小,此時…(11分)
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