【題目】如圖1,已知拋物線L1:y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,在L1上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸,垂足為D,將L1沿直線l翻折得到拋物線L2,交x軸于點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)).
(1)當(dāng)L1與L2重合時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),求此時(shí)L2的解析式;并直接寫(xiě)出L1與L2中,y均隨x的增大而減小時(shí)的x的取值范圍;
(3)連接PM,PB,設(shè)點(diǎn)P(m,n),當(dāng)n= m時(shí),求△PMB的面積.
【答案】(1)P(1,4);(2)x≥5 ;(3)△PMB的面積為或3
【解析】
(1)由配方法可得頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)由對(duì)稱性求出拋物線L2的頂點(diǎn),進(jìn)而得到解析式,由圖象可得;
(3)利用點(diǎn)P在拋物線上和n=m構(gòu)造方程求出m、n,分類討論求△PMB的面積.
(1)由拋物線對(duì)稱性,當(dāng)點(diǎn)P為拋物線L1的頂點(diǎn)時(shí),拋物線L1與L2重合
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4
∴點(diǎn)P(1,4)
(2)在拋物線L1中,令y=0,即-x2+2x+3=0
解得x1=-1,x2=3
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),此時(shí)P(3,0)
∴拋物線L2與拋物線L1關(guān)于直線x=3對(duì)稱
∴拋物線L2的頂點(diǎn)為(5,4)
∵由拋物線對(duì)稱性可知,拋物線L1和L2開(kāi)口方向和大小相同.
∴拋物線L2和的解析式為y=-(x-5)2+4=-x2+10x-21
∴結(jié)合圖象可知,當(dāng)x≥5時(shí),拋物線L1與拋物線L2中,y均隨x的增大而減小
(3)當(dāng)n=m時(shí),-m2+2m+3=m
解得m1=-,m2=2
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(-,-)或(2,3)
①如圖1,
當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(-,-)時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(-,0)
∴DB=3-(-)=
∴MB=2BD=2×=9
∴S△PMB=MBPD=×9×=
②如圖2,
當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,3)時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(2,0)
∴DB=3-2=1
∴MB=2BD=2
∴S△PMB=MBPD=×2×3=3
綜上所述當(dāng)點(diǎn)n=m時(shí),△PMB的面積為或3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解答下列問(wèn)題:
在一個(gè)不透明的口袋中有個(gè)紅球和若干個(gè)白球,這些球除顏色不同外其他都相同,請(qǐng)通過(guò)以下實(shí)驗(yàn)估計(jì)口袋中白球的個(gè)數(shù):從口袋中隨機(jī)摸出一球,記下顏色,再把它放回袋中,不斷重復(fù)上述過(guò)程,實(shí)驗(yàn)總共摸了次,其中有次摸到了紅球,那么估計(jì)口袋中有白球多少個(gè)?
請(qǐng)思考并作答:
在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)形狀、大小完全相同的白球,在不允許將球倒出來(lái)的情況下,如何估計(jì)白球的個(gè)數(shù)(可以借助其它工具及用品)?寫(xiě)出解決問(wèn)題的主要步驟及估算方法,并求出結(jié)果(其中所需數(shù)量用、、等字母表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】書(shū)店老板去圖書(shū)批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)某種圖書(shū),第一次用 1200 元購(gòu)買(mǎi)若干本,按 每本 10 元出售,很快售完.第二次購(gòu)買(mǎi)時(shí),每本書(shū)的進(jìn)價(jià)比第一次提高了 20%,他用1500 元所購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量比第一次多 10 本.
(1)求第一次購(gòu)買(mǎi)的圖書(shū),每本進(jìn)價(jià)多少元?
(2)第二次購(gòu)買(mǎi)的圖書(shū),按每本 10 元售出 200 本時(shí),出現(xiàn)滯銷,剩下的圖書(shū)降價(jià)后全部 售出,要使這兩次銷售的總利潤(rùn)不低于 2100 元,每本至多降價(jià)多少元?(利潤(rùn)=銷售收入一進(jìn)價(jià))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OC=3OA,拋物線C1的頂點(diǎn)為G.
(1)求出拋物線C1的解析式,并寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo);
(2)如圖2,將拋物線C1向下平移k(k>0)個(gè)單位,得到拋物線C2,設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′、B′,頂點(diǎn)為G′,當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時(shí),求k的值:
(3)在(2)的條件下,如圖3,設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點(diǎn),試探究在直線y=﹣1上是否存在點(diǎn)N,使得以P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等,若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】亞洲文明對(duì)話大會(huì)召開(kāi)期間,大批的大學(xué)生志愿者參與服務(wù)工作.某大學(xué)計(jì)劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去會(huì)場(chǎng),若單獨(dú)調(diào)配36座新能源客車若干輛,則有2人沒(méi)有座位;若只調(diào)配22座新能源客車,則用車數(shù)量將增加4輛,并空出2個(gè)座位.
(1)計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車多少輛?該大學(xué)共有多少名志愿者?
(2)若同時(shí)調(diào)配36座和22座兩種車型,既保證每人有座,又保證每車不空座,則兩種車型各需多少輛?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,,是上的一點(diǎn),,點(diǎn)為上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)為上的一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為 ________,當(dāng)的值取最小值時(shí),則的面積為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們定義直線為拋物線、b、c為常數(shù),的“夢(mèng)想直線”;有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”.
已知拋物線與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.
填空:該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為______,點(diǎn)A的坐標(biāo)為______,點(diǎn)B的坐標(biāo)為______;
如圖,點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn),將以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折,點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N,若為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”,求點(diǎn)N的坐標(biāo);
當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上,是否存在點(diǎn)F,使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=,∠B=120°,點(diǎn)E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A,D重合),EF∥AB交BC于點(diǎn)F,點(diǎn)G在CD上,DG=DE.若△EFG是等腰三角形,則DE的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與坐標(biāo)軸相交于、、三點(diǎn),是線段上一動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),過(guò)作,交于點(diǎn),連接.
直接寫(xiě)出、、的坐標(biāo);
求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);
求面積的最大值,并判斷當(dāng)的面積取最大值時(shí),以、為鄰邊的平行四邊形是否為菱形.
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