【題目】如圖1,拋物線C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.已知點A的坐標為(﹣1,0),點O為坐標原點,OC=3OA,拋物線C1的頂點為G.
(1)求出拋物線C1的解析式,并寫出點G的坐標;
(2)如圖2,將拋物線C1向下平移k(k>0)個單位,得到拋物線C2,設C2與x軸的交點為A′、B′,頂點為G′,當△A′B′G′是等邊三角形時,求k的值:
(3)在(2)的條件下,如圖3,設點M為x軸正半軸上一動點,過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點,試探究在直線y=﹣1上是否存在點N,使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等,若存在,直接寫出點M,N的坐標:若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3,點G的坐標為(1,4);(2)k=1;(3)M1(,0)、N1(,﹣1);M2(,0)、N2(1,﹣1);M3(4,0)、N3(10,﹣1);M4(4,0)、N4(﹣2,﹣1).
【解析】
(1)由點A的坐標及OC=3OA得點C坐標,將A、C坐標代入解析式求解可得;
(2)設拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,′作G′D⊥x軸于點D,設BD′=m,由等邊三角形性質(zhì)知點B′的坐標為(m+1,0),點G′的坐標為(1,m),代入所設解析式求解可得;
(3)設M(x,0),則P(x,﹣x2+2x+3)、Q(x,﹣x2+2x+2),根據(jù)PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均為鈍角知△AOQ≌△PQN,延長PQ交直線y=﹣1于點H,證△OQM≌△QNH,根據(jù)對應邊相等建立關于x的方程,解之求得x的值從而進一步求解即可.
(1)∵點A的坐標為(﹣1,0),
∴OA=1,
∴OC=3OA,
∴點C的坐標為(0,3),
將A、C坐標代入y=ax2﹣2ax+c,得:,
解得:,
∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
所以點G的坐標為(1,4);
(2)設拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,
過點G′作G′D⊥x軸于點D,設BD′=m,
∵△A′B′G′為等邊三角形,
∴G′D=B′D=m,
則點B′的坐標為(m+1,0),點G′的坐標為(1,m),
將點B′、G′的坐標代入y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,得:
,
解得:(舍),,
∴k=1;
(3)設M(x,0),則P(x,﹣x2+2x+3)、Q(x,﹣x2+2x+2),
∴PQ=OA=1,
∵∠AOQ、∠PQN均為鈍角,
∴△AOQ≌△PQN,
如圖2,延長PQ交直線y=﹣1于點H,
則∠QHN=∠OMQ=90°,
又∵△AOQ≌△PQN,
∴OQ=QN,∠AOQ=∠PQN,
∴∠MOQ=∠HQN,
∴△OQM≌△QNH(AAS),
∴OM=QH,即x=﹣x2+2x+2+1,
解得:x=(負值舍去),
當x=時,HN=QM=﹣x2+2x+2=,點M(,0),
∴點N坐標為(+,﹣1),即(,﹣1);
或(﹣,﹣1),即(1,﹣1);
如圖3,
同理可得△OQM≌△PNH,
∴OM=PH,即x=﹣(﹣x2+2x+2)﹣1,
解得:x=﹣1(舍)或x=4,
當x=4時,點M的坐標為(4,0),HN=QM=﹣(﹣x2+2x+2)=6,
∴點N的坐標為(4+6,﹣1)即(10,﹣1),或(4﹣6,﹣1)即(﹣2,﹣1);
綜上點M1(,0)、N1(,﹣1);M2(,0)、N2(1,﹣1);M3(4,0)、N3(10,﹣1);M4(4,0)、N4(﹣2,﹣1).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點終點B運動,同時點Q從點B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點終點C運動,它們到達終點后停止運動.
(1)幾秒后,點P、D的距離是點P、Q的距離的2倍;
(2)幾秒后,△DPQ的面積是24cm2.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點A(2,m).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)點B在軸的上,且OA=BA,反比例函數(shù)圖像上有一點C,且∠ABC=90°,求點C坐標.
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【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=kx+k+1的圖象與一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象交于點A(1,a).
(1)求a、k的值;
(2)根據(jù)圖象,寫出不等式﹣x+4>kx+k+1的解;
(3)結合圖形,當x>2時,求一次函數(shù)y=﹣x+4函數(shù)值y的取值范圍;
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【題目】某地為了鼓勵居民節(jié)約用水,決定實行兩級收費制,即每月用水量不超過12噸(含12噸)時,每噸按政府補貼優(yōu)惠價收費;每月超過12噸,超過部分每噸按市場調(diào)節(jié)價收費,小黃家1月份用水24噸,交水費42元.2月份用水20噸,交水費32元.
(1)求每噸水的政府補貼優(yōu)惠價和市場調(diào)節(jié)價分別是多少元;
(2)設每月用水量為噸,應交水費為元,寫出與之間的函數(shù)關系式;
(3)小黃家3月份用水26噸,他家應交水費多少元?
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【題目】我們定義:兩個二次項系數(shù)之和為1,對稱軸相同,且圖象與y軸交點也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)例如:的友好同軸二次函數(shù)為.
請你分別寫出,的友好同軸二次函數(shù);
滿足什么條件的二次函數(shù)沒有友好同軸二次函數(shù)?滿足什么條件的二次函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)是它本身?
如圖,二次函數(shù):與其友好同軸二次函數(shù)都與y軸交于點A,點B、C分別在、上,點B,C的橫坐標均為,它們關于的對稱軸的對稱點分別為,,連結,,,CB.
若,且四邊形為正方形,求m的值;
若,且四邊形的鄰邊之比為1:2,直接寫出a的值.
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【題目】如圖1,已知拋物線L1:y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,在L1上任取一點P,過點P作直線l⊥x軸,垂足為D,將L1沿直線l翻折得到拋物線L2,交x軸于點M,N(點M在點N的左側).
(1)當L1與L2重合時,求點P的坐標;
(2)當點P與點B重合時,求此時L2的解析式;并直接寫出L1與L2中,y均隨x的增大而減小時的x的取值范圍;
(3)連接PM,PB,設點P(m,n),當n= m時,求△PMB的面積.
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【題目】小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時,經(jīng)歷了如下過程:
求解體驗
(1)已知拋物線經(jīng)過點(-1,0),則= ,頂點坐標為 ,該拋物線關于點(0,1)成中心對稱的拋物線的表達式是 .
抽象感悟
我們定義:對于拋物線,以軸上的點為中心,作該拋物線關于
點對稱的拋物線 ,則我們又稱拋物線為拋物線的“衍生拋物線”,點為“衍生中心”.
(2)已知拋物線關于點的衍生拋物線為,若這兩條拋物線有交點,求的取值范圍.
問題解決
(3) 已知拋物線
①若拋物線的衍生拋物線為,兩拋物線有兩個交點,且恰好是它們的頂點,求的值及衍生中心的坐標;
②若拋物線關于點的衍生拋物線為 ,其頂點為;關于點的衍生拋物線為,其頂點為;…;關于點的衍生拋物線為,其頂點為;…(為
正整數(shù)).求的長(用含的式子表示).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù),,是常數(shù),且中的與的部分對應值如下表所示,則下列結論中,正確的個數(shù)有( )
;當時,;當時,的值隨值的增大而減小;
方程有兩個不相等的實數(shù)根.
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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