Question

如圖（1），直線y=

3

x+2

3

與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)D，以AD為腰，以x軸為底作等腰梯形ABCD（AB＞CD），且等腰梯形的面積是8

3

，拋物線經(jīng)過等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（2）若點(diǎn)P為BC上的-個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），以P為圓心，BP長(zhǎng)為半徑作圓，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，作EF⊥AD，垂足為F，請(qǐng)判斷EF與⊙P的位置關(guān)系，并給以證明；
（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使⊙P與y軸相切？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出圖象上A，D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用等腰梯形面積求出C，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）利用等腰梯形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出PE∥DA，進(jìn)而得出∠FEP=∠AFF=90°，即可得出答案；
（3）利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，設(shè)Q（x，0），則QB=4-x，則∠PBA=∠DAO=60°故PQ=

3

(4-x)，PB=8-2x，P[x，

3

(4-x)]，利用PG=PB得出x的值即可．

解答：解：（1）如圖（1），
∵y=

3

x+2

3

，當(dāng)x=0時(shí)，y=2

3

；當(dāng)y=0時(shí)，x=-2
∴A（-2，0），D(0，2

3

)
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AD=BC，∠OAD=∠OBC
過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則AO=BH，OH=DC．
∵ABCD的面積是S=

1

2

(DC+AB)•DO
∴8

3

=

1

2

(DC+OH+2+2)×2

3

∴DC=2，
∴C（2，2

3

），B（4，0）
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），代入A（-2，0），D(0，2

3

)，B（4，0）
得

0=4a-2b+c 2 3 =c 0=16a+4b+c

，
解得

a=- 3 4 b= 3 2 c=2 3

，
即y=-

3

4

x2+

3

2

x+2

3

；

（2）如圖（2）連結(jié)PE，∵PE=PB，
∴∠PBE=∠PEB
∵∠PBE=∠DAB
∴∠DAB=∠PBE
∴PE∥DA
∵EF⊥AD
∴∠FEP=∠AFF=90°
又∵PE為半徑，
∴EF與⊙P相切．

（3）如圖（3）設(shè)⊙P與y軸相切于點(diǎn)G，P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，
設(shè)Q（x，0），則QB=4-x，
∵∠PBA=∠DAO，

OD

OA

=

3

∴∠PBA=∠DAO=60°
∴PQ=

3

(4-x)，PB=8-2x，P[x，

3

(4-x)]，
∵⊙P與y軸相切于點(diǎn)G，⊙P過點(diǎn)B，
∴PG=PB，
∴x=8-2x，
解得：x=

8

3

，
故P（

8

3

，

4 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)與判定和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，用未知數(shù)表示出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．