Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為2，O到頂點(diǎn)A的距離為5，點(diǎn)B在⊙O上，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，若B在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周．

（1）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓；

（2）△ABC始終是一個(gè)等邊三角形，直接寫出PC長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）≤PC≤

【解析】

（1）連接OA、OB，取OA的中點(diǎn)H，連接OB，HP，則HP是△ABO的中位線，得出HP＝OB＝1，即P點(diǎn)到H點(diǎn)的距離固定為1，即可得出結(jié)論；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)分別求出PC的最小值和最大值即可．

（1）解：連接OA、OB，取OA的中點(diǎn)H，連接HP，如圖1所示：

則HP是△ABO的中位線，

∴HP＝OB＝1，

∴P點(diǎn)到H點(diǎn)的距離固定為1，

∴B在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是以點(diǎn)H為圓心，半徑為1的一個(gè)圓；

（2）解：連接AO并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)M、N，如圖2所示：

∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，

∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，

∴PC＝PA＝AB，

當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P'位置，PC最短，

∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，

∴AP'＝AM＝，

∴PC＝；

當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P'位置，PC最長(zhǎng)，

∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，

∴AP'＝AN＝，

∴PC＝；

∴PC長(zhǎng)的取值范圍是≤PC≤．