Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)P是弧

BC

的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：DP是⊙O的切線； 
（2）若點(diǎn)P是弧

AC

的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線與射線BQ交于點(diǎn)Q，當(dāng)BQ=BP時(shí)，求sin∠BQP的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P是

BC

的中點(diǎn)，得出

PBA

=

PCA

，得出PA是○O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問(wèn)題得證；
（2）先根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)求得圓O的直徑，再根據(jù)勾股定理求得OD、ED的長(zhǎng)，進(jìn)而求得AE的長(zhǎng)，求得sin∠AEP=

AD

AE

=

5

5

，然后根據(jù)BQ=BP得出∠BQP=∠BPQ，根據(jù)AB∥PQ，得出∠APB=∠BPQ，因?yàn)椤螦EP=∠ABP，從而得出∠BQP=∠AEP，即可求得sin∠BQP=sin∠AEP=

AD

AE

=

5

5

．

解答：解：（1）連接AP，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
又∵

PB

=

PC

，
∴

PBA

=

PCA

，
∴PA是⊙O的直徑，
∵

PB

=

PC

，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切線．

（2）連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于E，做AF⊥BC垂足為G，連接CF，
∵AB=AC，
∴AF平分BC，
∴AF是⊙O的直徑，
∵BG=CG=6，AC=10，
∴AG=

AC2-CG2

=8，
∵AC²=AG•AF，
∴AF=

25

2

，
∴EP=AF=

25

2

，OE=OA=

25

4

，
∴OD=

OA2-AD2

=

15

4

，
∴ED=OE+OD=10，
∴AE=

ED2+AD2

=5

5

，
∴sin∠AEP=

AD

AE

=

5

5 5

=

5

5

，
∵BQ=BP，
∴∠BQP=∠BPQ，
∵AB∥PQ，
∴∠ABP=∠BPQ，
∵∠AEP=∠ABP，
∴∠BQP=∠AEP，
∴sin∠BQP=sin∠AEP=

AD

AE

=

5

5

，

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以、勾股定理和圓周角定理以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)得出相等的角是解題關(guān)鍵．