Question

若a為正整數(shù)，則a⁴-3a²+9是合數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

專題：

分析：運(yùn)用拆項(xiàng)法將a⁴-3a²+9分解成（a²+3+3a）（a²+3-3a），由a是正整數(shù)可得a²+3+3a與a²+3-3a都是正整數(shù)，然后運(yùn)用合數(shù)的等價(jià)條件（若一個(gè)數(shù)等于兩個(gè)大于1 的整數(shù)之積，則這個(gè)數(shù)是合數(shù)）可得a²+3+3a≠1且a²+3-3a≠1，解這兩個(gè)不等式就可解決問(wèn)題．

解答：解：a⁴-3a²+9=a⁴+6a²+9-9a²
=（a²+3）²-（3a）²
=（a²+3+3a）（a²+3-3a）．
∵a為正整數(shù)，
∴a²+3+3a與a²+3-3a都是正整數(shù)．
∵a⁴-3a²+9是合數(shù)，
∴a²+3+3a與a²+3-3a都是大于1的正整數(shù)，
∴a²+3+3a≠1且a²+3-3a≠1，
∴a²+3a+2≠0且a²-3a+2≠0，
∴（a+1）（a+2）≠0且（a-1）（a-2）≠0，
∴a≠-1且a≠-2且a≠1且a≠2，
∴a的取值范圍是大于2的正整數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了合數(shù)、因式分解等知識(shí)，運(yùn)用因式分解及合數(shù)的等價(jià)條件（若一個(gè)數(shù)等于兩個(gè)大于1 的整數(shù)之積，則這個(gè)數(shù)是合數(shù)）是解決本題的關(guān)鍵．