Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．

（1）求證：△ABC∽△FCD；

（2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由AD＝AC可以得到∠ADC＝∠ACD，利用D是BC邊上的中點，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，再利用相似三角形的判定，就可以證明題目結論；

（2）利用相似三角形的性質就可以求出三角形ABC的面積，然后利用面積公式就求出了DE的長．

（1）證明：∵AD＝AC，

∴∠ADC＝∠ACD．

∵D是BC邊上的中點，DE⊥BC，

∴EB＝EC，

∴∠EBC＝∠ECB．

∴△ABC∽△FCD；

（2）解：過A作AM⊥CD，垂足為M．

∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，

∴．

∵S△FCD＝5，

∴S△ABC＝20．

又∵S△ABC＝×BC×AM，BC＝10，

∴AM＝4．

又DM＝CM＝CD，DE∥AM，

∴DE：AM＝BD：BM＝，

∴DE＝ ．