Question

【題目】已知：如圖，點(diǎn)P是半徑為5cm的⊙O外的一點(diǎn)，OP= 13cm，PT切⊙O于T點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PB（PB>PA），設(shè)PA= x，PB= y。

（1）求y與x的函數(shù)解析式，并確定自變量x的取值范圍；

（2）這個(gè)函數(shù)有最大值嗎？若有求出此時(shí)△PBT的面積，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）是否存在這樣的PB，使得，若存在，請(qǐng)求出PA的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=(8<x<12);(2)有最大值，當(dāng)PAB與PO重合時(shí)y最大， y最大=18, 這時(shí);

（3）存在這樣的PB，A是PB的中點(diǎn)，這時(shí)，PA=x=6.

【解析】

（1）連接圓心和切線(xiàn)，求得切線(xiàn)長(zhǎng)，利用切割線(xiàn)定理可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)自變量的取值，求得函數(shù)的最值，進(jìn)而求得面積；（3）利用三角形相似的面積求得相應(yīng)的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng).

（1）連接OT，∵PT切⊙O于T點(diǎn)，

∴∠OTP=90°，

∵OP=13cm，OT=5cm，

∴PT=12,

∵PT為切線(xiàn)，

∴PT2=PA×PB

∴xy=144，

∴y=(8<x<12);

（2）由（1）得x=8時(shí)，y最大=18，此時(shí)TB為直徑，TB=10，

∴S△PBT=

（3）∵∠TPA=∠TPA, ∠PTA=∠PBT,

∴△PTA∽△PBT

∵

∴PA：PT=1：

∵PT=12，

∴PA=6

∵在自變量的取值范圍內(nèi)，故存在.