Question

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，點(diǎn)A、B是直線l外的任意兩點(diǎn)，在直線l上，試確定一點(diǎn)P，使PA，PB最短．
作法如下：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連結(jié)A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B最短．（不必證明）
（2）解決問(wèn)題：
如圖2，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，E為AB的中點(diǎn)，AD⊥BC，P是AD上一點(diǎn)．
①在圖中畫(huà)出點(diǎn)P，使點(diǎn)B，E到點(diǎn)P的距離之和最短；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
②求這個(gè)最短距離．

（3）應(yīng)用拓展：如圖3，角形鐵架∠MON=30°，A，D分別是OM，ON上的定點(diǎn)，且OA=7，OD=24，為實(shí)際設(shè)計(jì)的需要，需在OM和ON上分別找出點(diǎn)C，B，使AB+BC+CD的值最小．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)B、C，則此時(shí)的最小值為

 

（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題,作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

專(zhuān)題：

分析：（2）根據(jù)等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性可知B和點(diǎn)C關(guān)于直線AD的長(zhǎng)，由此連接CE，交AD于P，則P為所求，再根據(jù)勾股定理即可求出點(diǎn)B，E到點(diǎn)P的最短距離；
（3）首先根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短確定C，B二點(diǎn)的位置，則折線ABCD的最短長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)度．然后運(yùn)用勾股定理求出其值．

解答：解：（2）如圖2所示：點(diǎn)P為所求，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=4，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE=2，
∴CE=

42-22

=2

3

，
∵AD⊥BC，
∴BP=CP，
∴BP+PE=CP+PE=CE=2

3

，
（3）如圖3所示：
解：作D關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，作A作關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′D′與OM，ON的交點(diǎn)就是C，B二點(diǎn)．

此時(shí)AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′為最短距離．
連接DD′，AA′，OA′，OD′．
∵OA=OA′，∠AOA′=60°，
∴∠OAA′=∠OA′A=60°，
∴△ODD′是等邊三角形．
同理△OAA′也是等邊三角形．
∴OD'=OD=24，OA′=OA=7，
∠D′OA′=90°．
∴A′D′=

242+72

=25．
故答案為：25．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了線路最短的問(wèn)題，確定動(dòng)點(diǎn)為何位置是關(guān)鍵．綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí)以及勾股定理，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．