Question

（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，點A、B是直線l外的任意兩點，在直線l上，試確定一點P，使PA，PB最短．
作法如下：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連結(jié)A′B交l于點P，則PA+PB=A′B最短．（不必證明）
（2）解決問題：
如圖2，等邊△ABC的邊長為4，E為AB的中點，AD⊥BC，P是AD上一點．
①在圖中畫出點P，使點B，E到點P的距離之和最短；（保留作圖痕跡，不寫作法）
②求這個最短距離．

（3）應(yīng)用拓展：如圖3，角形鐵架∠MON=30°，A，D分別是OM，ON上的定點，且OA=7，OD=24，為實際設(shè)計的需要，需在OM和ON上分別找出點C，B，使AB+BC+CD的值最�。�請在圖中畫出點B、C，則此時的最小值為

 

（保留作圖痕跡，不寫作法）

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖

專題：

分析：（2）根據(jù)等邊三角形的軸對稱性可知B和點C關(guān)于直線AD的長，由此連接CE，交AD于P，則P為所求，再根據(jù)勾股定理即可求出點B，E到點P的最短距離；
（3）首先根據(jù)兩點之間，線段最短確定C，B二點的位置，則折線ABCD的最短長度轉(zhuǎn)化為一條線段的長度．然后運用勾股定理求出其值．

解答：解：（2）如圖2所示：點P為所求，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=4，
∵E為AB的中點，
∴AE=BE=2，
∴CE=

42-22

=2

3

，
∵AD⊥BC，
∴BP=CP，
∴BP+PE=CP+PE=CE=2

3

，
（3）如圖3所示：
解：作D關(guān)于OM的對稱點D′，作A作關(guān)于ON的對稱點A′，連接A′D′與OM，ON的交點就是C，B二點．

此時AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′為最短距離．
連接DD′，AA′，OA′，OD′．
∵OA=OA′，∠AOA′=60°，
∴∠OAA′=∠OA′A=60°，
∴△ODD′是等邊三角形．
同理△OAA′也是等邊三角形．
∴OD'=OD=24，OA′=OA=7，
∠D′OA′=90°．
∴A′D′=

242+72

=25．
故答案為：25．

點評：此題考查了線路最短的問題，確定動點為何位置是關(guān)鍵．綜合運用了等邊三角形的知識以及勾股定理，題目的綜合性較強，難度中等．