Question

以下二次根式：
①

1+ 1 12 + 1 22

，②

1+ 1 22 + 1 32

，③

1+ 1 32 + 1 42

，…

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

（1）直接寫出①，②，③的化簡結(jié)果．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，猜測第n個的化簡結(jié)果，并證明你的猜測．

Answer 1

考點：二次根式的性質(zhì)與化簡

專題：規(guī)律型

分析：（1）把被開方數(shù)進行通分計算，然后開方即可；
（2）首先把

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

的被開方數(shù)進行通分可得

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

，再把分母開方，分子后兩項展開可得

n2(n+1)2+n2+2n+1+n2

n(n+1)

，再進行整理可得

[n(n+1)]2+2n(n+1)+1

n(n+1)

，然后再把分子進行開方即可．

解答：解：（1）①

1+ 1 12 + 1 22

=

3

2

；
②

1+ 1 22 + 1 32

=

7

6

；
③

1+ 1 32 + 1 42

=

13

12

；

（2）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n2(n+1)2+n2+2n+1+n2

n(n+1)

=

[n(n+1)]2+2n(n+1)+1

n(n+1)

=

n(n+1)+1

n(n+1)

．

點評：本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，關(guān)鍵是正確把被開方數(shù)1+

1

n2

+

1

(n+1)2

進行通分開方．