Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交軸

于兩點，點在⊙上．

（1）求出兩點的坐標(biāo)；

（2）試確定經(jīng)過A、B且以點P為頂點的拋物線解析式；

（3）在該拋物線上是否存在一點，使線段與互相平分？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）， （2）或 （3）存在使線段與互相平分

【解析】

試題分析：（1）作軸，為垂足，連接CB，根據(jù)C點的坐標(biāo)及圓的半徑可求得HB=，從而根據(jù)坐標(biāo)的特點求出A、B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)圓的對稱性（垂徑定理）和拋物線的對稱性可求得P點的坐標(biāo)（1,3）（1，-1），分別設(shè)出頂點式，然后代入A、B點的坐標(biāo)即可求得解析式；

（3）根據(jù)題意假設(shè)存在D點，則由題意知四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得PC=OD，且PC∥OD，又由圖形可知PC∥y軸，判斷出D在y軸上，因此可由PC=2可求得OD=2，因此可得D點的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式可判斷存在這樣的點D（0,2）.

試題解析：【解析】
（1）作軸，為垂足，連接CB.

，半徑

，

故，

（2）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點的坐標(biāo)為或（1，），

設(shè)拋物線表達(dá)式，

把點代入上式，解得

．

設(shè)拋物線解析式,

把點代入上式，解得a=,

．

（3）假設(shè)存在點使線段與互相平分，

則四邊形是平行四邊形

且．

軸，

點在軸上．

又，

，

即或（0，-2）．

（0，2）滿足，

（0，-2）不滿足,

點（0，2）在拋物線上．

所以存在使線段與互相平分．

考點：待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)