Question

已知拋物線y=-（x-m）²+1與x數(shù)的交點為A，B（B在A的右邊），與y軸的交點為C，頂點為D．
（1）當(dāng)m=1時，判斷△ABD的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的負(fù)半軸上時，是否存在某個m值，使得△BOC為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將m=1代入y=-（x-m）²+1，化簡可得拋物線的解析式為y=-x²+2x，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到頂點D（1，1），令y=0時得出-x²+2x=0，求出A（0，0），B（2，0），由AD=BD=

2

，AD²+BD²=AB²=4，可判斷△ABD是等腰直角三角形；
（2）令y=0時得出（x-m）²=1，由點B在點A的右邊及點B在x軸的正半軸上，得出OB=m+1，令x=0時得出y=1-m²，由點C在y軸的負(fù)半軸上得出OC=m²-1，根據(jù)△BOC為等腰三角形得出OB=OC，依此列出方程m²-1=m+1，解方程即可．

解答：解：（1）將m=1代入y=-（x-m）²+1，
得y=-（x-1）²+1，即y=-x²+2x，
頂點D（1，1）．
令y=0，得-x²+2x=0，解得x=0或2，
所以A（0，0），B（2，0），
∵AD²=（1-0）²+（1-0）²=2，BD²=（1-2）²+（1-0）²=2，AB=2，
∴AD=BD=

2

，AD²+BD²=AB²=4，
∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）存在某個m的值，使得△BOC為等腰三角形．
∵當(dāng)y=0時，-（x-m）²+1=0，即（x-m）²=1，
∴x₁=m-1，x₂=m+1．
∵點B在點A的右邊，
∴A（m-1，0），B（m+1，0）．
∵點B在x軸的正半軸上，
∴OB=m+1．
∵當(dāng)x=0時，y=1-m²，點C在y軸的負(fù)半軸上，
∴OC=m²-1．
當(dāng)△BOC為等腰三角形時，OB=OC，
∴m²-1=m+1，
整理得m²-m-2=0，
解得m=2或m=-1（因為對稱軸在y軸的右側(cè)，m＞0，所以不合要求，舍去），
故存在△BOC為等腰三角形的情形，此時m=2．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的求法，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難度中等．