Question

兩個(gè)全等的含有30°，60°角的三角尺ADE與三角尺ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME，MC．
（1）求證：△EDM≌△CAM；
（2）求證：△EMC為等腰直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）易證△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一，得出AM⊥BD，得出∴∠DAM=∠MAB=∠ABM=∠ADM=45°，DM=MA=MB，進(jìn)而求得∠EDM=∠MAC，然后根據(jù)SAS即可求得結(jié)論；
（2）根據(jù)△EDM≌△CAM，得出∠EMD=∠AMC，EM=CM，根據(jù)∠AMD=∠EMD+∠AME=90°，推出∠EMC=∠AMC+∠AME=90°，即可證得：△EMC為等腰直角三角形

解答：解：（1）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠DAE=30°，∠BAC=60°，
∴∠DAB=90°
∴三角形ABD是等腰直角三角形，
∵DM=BM，
∴AM⊥BD，
∴∠DAM=∠MAB=∠ABM=∠ADM=45°，DM=MA=MB，
∵∠ADE=∠BAC=60°，
∴∠EDM=∠MAC=60°+45°，
在△EDM與△CAM中

DE=AC ∠EDM=∠MAC DM=AM

∴△EDM≌△CAM（SAS）；

（2）∵△EDM≌△CAM，
∴∠EMD=∠AMC，EM=CM，
∵∠AMD=∠EMD+∠AME=90°，
∴∠EMC=∠AMC+∠AME=90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．