【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AE平分∠BAF,交⊙O于點E,過點E作直線ED⊥AF,交AF的延長線于點D,交AB的延長線于點C.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若tanC= ,⊙O的半徑為2,求DE的長.
【答案】
(1)證明:連接OE.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
又∵∠DAE=∠OAE,
∴∠OEA=∠DAE,
∴OE∥AD,
∴∠ADC=∠OEC,
∵AD⊥CD,
∴∠ADC=90°,
故∠OEC=90°.
∴OE⊥CD,
∴CD是⊙O的切線
(2)解:∵tanC= ,
∴∠C=30°,
又∵OE=2,
∴OC=4,AC=6,
在Rt△OCE中,tanC= ,
∴CE=2 ,
在Rt△ACD中,cosC= ,
CD=3
∴DE=CD﹣CE=3 ﹣2 = .
【解析】(1)連接OE.依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義可得到∠OEA=∠DAE,從而可證明OE∥AD,然后依據(jù)平行線的性質(zhì)可證∠OEC=90°;
(2)先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠C=30°,然后可求得AC=6,依據(jù)特殊銳角三教函數(shù)值可求得CE和CD的長,最后依據(jù)DE=CD﹣CE求解即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解角平分線的性質(zhì)定理(定理1:在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等; 定理2:一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上),還要掌握解直角三角形(解直角三角形的依據(jù):①邊的關(guān)系a2+b2=c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法))的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(﹣1,4),且與直線y=﹣ x+1相交于A、B兩點(如圖),A點在y軸上,過點B作BC⊥x軸,垂足為點C(﹣3,0).
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)點N是二次函數(shù)圖象上一點(點N在AB上方),過N作NP⊥x軸,垂足為點P,交AB于點M,求MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,點N在何位置時,BM與NC相互垂直平分?并求出所有滿足條件的N點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y= 與y軸交于點A,與直線y=﹣ 交于點B,以AB為邊向右作菱形ABCD,點C恰與原點O重合,拋物線y=(x﹣h)2+k的頂點在直線y=﹣ 上移動.若拋物線與菱形的邊AB、BC都有公共點,則h的取值范圍是( )
A.﹣2
B.﹣2≤h≤1
C.﹣1
D.﹣1
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【題目】如圖1,點A、B、C在坐標軸上,且A、B、C的坐標分別為、、過點A的直線AD與y軸正半軸交于點D,
求直線AD和BC的解析式;
如圖2,點E在直線上且在直線BC上方,當的面積為6時,求E點坐標;
在的條件下,如圖3,動點M在直線AD上,動點N在x軸上,連接ME、NE、MN,當周長最小時,求周長的最小值.
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【題目】我們知道,同底數(shù)冪的乘法法則為:am·an=am+n(其中a≠0,m,n為正整數(shù)),類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m,n的一種新運算:h(m+n)=h(m)·h(n),請根據(jù)這種新運算填空:
(1)若h(1)=,則h(2)=________;
(2)若h(1)=k(k≠0),則h(n)·h(2017)=________(用含n和k的代數(shù)式表示,其中n為正整數(shù)).
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+ x+1(a≠0)與x軸交于A,B兩點,其中點B坐標為(2,0).
(1)求拋物線的解析式和點A的坐標;
(2)如圖1,點P是直線y=﹣x上的動點,當直線OP平分∠APB時,求點P的坐標;
(3)如圖2,在(2)的條件下,點C是直線BP上方的拋物線上的一個動點,過點C作y軸的平行線,交直線BP于點D,點E在直線BP上,連結(jié)CE,以CD為腰的等腰△CDE的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分別是BC,CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系并證明. (提示:延長CD到G,使得DG=BE)
(2)如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;
(3)如圖3,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西20°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東60°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,F處,且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時兩艦艇之間的距離.(可利用(2)的結(jié)論)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖,請證明∠A+∠B+∠C=180°
(2)如圖的圖形我們把它稱為“8字形”,請證明∠A+∠B=∠C+∠D
(3)如圖,E在DC的延長線上,AP平分∠BAD,CP平分∠BCE,猜想∠P與∠B、∠D之間的關(guān)系,并證明
(4)如圖,AB∥CD,PA平分∠BAC,PC平分∠ACD,過點P作PM、PE交CD于M,交AB于E,則①∠1+∠2+∠3+∠4不變;②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不變,選擇正確的并給予證明.
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