Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+ x+1（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，0）．

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖1，點(diǎn)P是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線OP平分∠APB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)C是直線BP上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的平行線，交直線BP于點(diǎn)D，點(diǎn)E在直線BP上，連結(jié)CE，以CD為腰的等腰△CDE的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把B（2，0）代入y=ax2+ x+1，

可得4a+1+1=0，解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+1，

令y=0，可得﹣ x2+ x+1=0，解得x=﹣1或x=2，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）

（2）解：若y=﹣x平分∠APB，則∠APO=∠BPO，

如圖1，若P點(diǎn)在x軸上方，PB與y軸交于點(diǎn)A′，

由于點(diǎn)P在直線y=﹣x上，可知∠POA=∠POA′=45°，

在△APO和△A′PO中 ，

∴△APO≌△A′PO（ASA），

∴AO=A′O=1，

∴A′（0，1），

設(shè)直線BP解析式為y=kx+b，

把B（2，0）、A′（0，1）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 ，解得 ，

∴直線BP解析式為y=﹣ x+1，

聯(lián)立 ，解得 ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2）；

若P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，如圖2，

∠BPO≠∠APO，即此時(shí)沒有滿足條件的P點(diǎn)，

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2）

（3）解：存在，

如圖3，作CH⊥PB于點(diǎn)H，

∵直線PB的解析式為y=﹣ x+1，

∴F（0，1），

tan∠BFO= = =2，

∵CD∥y軸，

∴∠BFO=∠CDF，

tan∠CDF=tan∠BFO= =2，

∴CH=2DH，

設(shè)DH=t，則CH=2t，CD= t，

∵△CDE是以CD為腰的等腰三角形，

∴分兩種情況：

①若CD=DE時(shí)，則S△CDE= DECH= t2t= ，

②若CD=CE時(shí)，則ED=2DH=2t，

∴S△CDE= DECH= 2t2t=2t2，

∵2t2＜ t2，

∴當(dāng)CD=DE時(shí)△CDE的面積比CD=CE時(shí)大，

設(shè)C（x，﹣ x2+ x+1），則D（x，﹣ x+1），

∵C在直線PB的上方，

∴CD= =（﹣ x2+ x+1）﹣（﹣ x+1）=﹣ =﹣ ，

當(dāng)x=1時(shí)，CD有最大值為 ，

即 t= ，

t= ，

∴S△CDE= = × = ，

存在以CD為腰的等腰△CDE的面積有最大值，這個(gè)最大值是 ．

【解析】（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入到拋物線的解析式可求得a的值，令y=0，得到關(guān)于x的方程，然后解關(guān)于x的一元二次方程即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，連接BP交y軸于點(diǎn)A′，然后證明△APO≌△A′PO，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到AO=A′O=1，從而可求得A′坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可求得直線BP的解析式，聯(lián)立直線y=-x，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，畫圖可知：∠BPO≠∠APO，即此時(shí)沒有滿足條件的P點(diǎn)；
（3）過C作CH⊥DE于點(diǎn)H，由直線BP的解析式可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，結(jié)合條件可求得tan∠BFO和tan∠CDF，可分別用DH表示出CH和CD的長，分CD=DE和CD=CE兩種情況，分別用t表示出△CDE的面積，再設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△CDE的面積的最大值.