【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+cx軸交于AB兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C0,﹣3

1)求拋物線的解析式;

2)點(diǎn)P在拋物線位于第四象限的部分上運(yùn)動(dòng),當(dāng)BCP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)和BCP的最大面積.

3)當(dāng)BCP的面積最大時(shí),在拋物線上是否點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P),使BCQ的面積等于BCP,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1y=x22x3;(2P點(diǎn)坐標(biāo)為()時(shí),BCP的面積最大,最大面積為;(3)存在,Q點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】試題分析:(1)直接用代入法求函數(shù)的解析式;(2連接BC,過點(diǎn)Py軸的平行線,交BC于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)H,求直線BC的函數(shù)解析式,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x22x3),則M點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x3),PM=x3x22x3=x2+3xSPBC=PM OH+PM HB=PMOH+HB=PM OB=PM,當(dāng)PM有最大值時(shí),PBC的面積最大,由PM=x2+3x=-(x2+可得,當(dāng)x=時(shí),有最大值PM=,則SPBC=×=,x=代入 x22x3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為,);(3求出直線Q1Q2的解析式,再求它與二次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)即為所求;

試題解析:

(1)把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得,解得

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;

(2) 連接BC,過點(diǎn)Py軸的平行線,交BC于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)H如圖所示:

y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1x=3,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),令x=0,y=-3,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),

B3,0),C0,3),
∴直線BC解析式為y=x3
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x22x3),則M點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x3),
P點(diǎn)在第四限,
PM=x3x22x3=x2+3x
SPBC=PM OH+PM HB=PMOH+HB=PM OB=PM,
∴當(dāng)PM有最大值時(shí),PBC的面積最大,
PM=x2+3x=x2+,
∴當(dāng)x=時(shí),有最大值PM=,則SPBC=×=,
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(), SPBC=,
即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,)時(shí),BCP的面積最大,最大面積為;

(3)BCP的面積面積為

BCP的高是 ,

作直線BC的平行的直線Q1Q2,且距離直線BC,

∵直線BC的函數(shù)為y=x-3,

∴直線Q1Q2的解析式為y=x- ,

又∵二次函數(shù)的解析線為y=x2﹣2x﹣3

∴兩條直線交點(diǎn)Q2坐標(biāo)為,Q1的坐標(biāo)為

存在,Q點(diǎn)坐標(biāo)為

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