Question

【題目】如圖，在矩形中，，，為矩形的中心，以為圓心1為半徑作，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則面積的最大值為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)點(diǎn)P的直線平行于OA且與⊙D相切時(shí)，△AOP面積的最大，由于P為切點(diǎn)，得出MP垂直于切線，進(jìn)而得出PM⊥AC，根據(jù)勾股定理先求得AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求得OA的長(zhǎng)，根據(jù)△ADM∽△ACD，求得DM的長(zhǎng)，從而求得PM的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得．

解：當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)點(diǎn)P的直線平行于OA且與⊙D相切時(shí)，△AOP面積的最大，如圖，

∵過(guò)P的直線是⊙D的切線，

∴DP垂直于切線，

延長(zhǎng)PD交AC于M，則DM⊥AC，

∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，

∴AC=

∴OA=，

∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，

∴△ADM∽△ACD，

∴，

∵AD=4，CD=3，AC=5，

∴DM=，

∴PM=PD+DM=1+=，

∴△AOP的最大面積=OAPM=××=，

故答案為：．