Question

（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且其頂點(diǎn)P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；

（2）寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）試確定此拋物線的解析式；

（4）在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）120°；（2）A（，0），B（，0）；（3）；（4）D（0，2）．

【解析】

試題分析：（1）可通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求解．過(guò)C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根據(jù)半徑及C點(diǎn)的坐標(biāo)即可用三角形函數(shù)求出∠ACB的值．

（2）根據(jù)垂徑定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的長(zhǎng)，再根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱(chēng)性，即可得出圓心C和P點(diǎn)必在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，因此可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．然后可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線的解析式．根據(jù)A或B的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式．

（4）如果OP、CD互相平分，那么四邊形OCPD是平行四邊形．因此PC平行且相等于OD，那么D點(diǎn)在y軸上，且坐標(biāo)為（0，2）．然后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判定出是否存在這樣的點(diǎn)．

試題解析：（1）作CH⊥x軸，H為垂足，

∵CH=1，半徑CB=2，∠BCH=60°，∴∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半徑CB=2，∴HB=，故A（，0），B（，0）．

（3）由圓與拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）

設(shè)拋物線解析式，把點(diǎn)B（，0）代入上式，解得，∴；

（4）假設(shè)存在點(diǎn)D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，∴PC∥OD且PC=OD．

∵PC∥y軸，∴點(diǎn)D在y軸上．

又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．

又D（0，2）滿足，∴點(diǎn)D在拋物線上，∴存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．