Question

如圖（1），邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D沿射線(xiàn)AB方向由A向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F同時(shí)從C出發(fā)，以相同的速度沿射線(xiàn)BC方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，連結(jié)DF交射線(xiàn)AC于點(diǎn)G.

（1）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)DF⊥AB時(shí)，求AD的長(zhǎng)及△BDF的面積；

（3）小明通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上時(shí)，EG的長(zhǎng)始終等于AC的一半，他想當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到圖（2）的情況時(shí)，EG的長(zhǎng)始終等于AC的一半嗎？若改變，說(shuō)明理由，若不變，請(qǐng)證明EG等于AC的一半.

 

Answer 1

（1）；（2）2，，（3）不變，證明見(jiàn)試題解析．

【解析】

試題分析：（1）解直角三角形ADE，根據(jù)30°角對(duì)應(yīng)直角邊為斜邊長(zhǎng)一半即可解題；

（2）設(shè)AD=X，解直角三角形BDF即可求得X的值，即可求得△BDF的面積；

（3）過(guò)F作FH⊥AC，可證△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再證△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解題．

試題解析：（1）當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，AD=3，

在RT△ADE中，∠A=60°，∠ADE=30°，∴AE=AD•sinA=．

（2）設(shè)AD=x，則CF=x，

當(dāng)DF⊥AB時(shí)，RT△BDF中，∠F=30°，∴BF=2BD，6+x=2（6﹣x），解得x=2，∴AD=2．

∴BD=6﹣2=4，

DF=BD•tanB=，∴△BDF的面積為BD•DF=．

（3）過(guò)F作FH⊥AC，

在△ADE和△CFH中，∵∠AED=∠FHC，∠A=∠FCH，AD=CF，∴△ADE≌△CFH（AAS），

∴DE=FH，AE=CH，∴AC=EH，

在△GDE和△GFH中，∵∠DEG=∠FHG，∠DGE=∠FGH，DE=FH，∴△GDE≌△GFH（AAS），

∴EG=GH，∴EG=EH=AC．

考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．等邊三角形的判定與性質(zhì)．