Question

在綜合實(shí)踐活動(dòng)課中，王老師出了這樣一道題：
如圖1，在矩形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作ME∥AC交BD于點(diǎn)E，作MF∥BD交AC于點(diǎn)F．求證：四邊形OEMF是菱形．
做完題后，同學(xué)們按照老師的要求進(jìn)行變式或拓展，提出新的問題讓其它同學(xué)解答．
（1）小明同學(xué)說：“我把條件中的‘矩形ABCD’改為‘菱形ABCD’，如圖2所示，發(fā)現(xiàn)四邊形OEMF是矩形．”請(qǐng)給予證明；
（2）小芳同學(xué)說：“我把條件中的‘點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)’改為‘點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)’，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F落在AC的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，此時(shí)OB、ME、MF三條線段之間存在某種數(shù)量關(guān)系．”請(qǐng)你寫出這個(gè)結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）首先證得四邊形OEMF是平行四邊形，然后利用菱形的對(duì)角線互相垂直證得∠EOF=90°，利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證得結(jié)論；
（2）根據(jù)四邊形OEMF是平行四邊形，得到OE=MF，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得到OB=

1

2

BD，OC=

1

2

AD，且AC=BD，從而得到OB=OC，進(jìn)一步得到BE=ME，從而證得結(jié)論OB=BE-OE=ME-MF．

解答：（1）證明：∵M(jìn)E∥AC，MF∥BD，
∴四邊形OEMF是平行四邊形．
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠EOF=90°，
∴四邊形OEMF是矩形．

（2）結(jié)論：OB=ME-MF．
理由如下：∵M(jìn)E∥AC，MF∥BD，
∴四邊形OEMF 是平行四邊形，
∴OE=MF，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=

1

2

BD，OC=

1

2

AD，且AC=BD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
由ME∥AC可知，∠OCB=∠EMB，
∴BE=ME，
∴OB=BE-OE=ME-MF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)及判斷、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及判定，涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多，較復(fù)雜，但難度不算很大．