Question

（本題滿分12分）已知：如圖等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是劣弧BC上的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），延長BP至D，使BD=AP，連接CD．

（1）若AP過圓心O，如圖①，請你判斷△PDC是什么三角形？并說明理由．

（2）若AP不過圓心O，如圖②，請你判斷△PDC是什么三角形？并說明理由．

 

Answer 1

（1）△PDC為等邊三角形，理由見試題解析；（2）△PDC為等邊三角形，理由見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）通過證△BCD≌△ACP，可得∠APC=∠D=60°；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角可得∠DPC=∠BAC=60°，由此可得到△PDC是等邊三角形的結(jié)論．

（2）由（1）的解題思路知：△PDC的形狀與AP是否為直徑無關(guān)，故結(jié)論與（1）相同．

試題解析：（1）△PDC是等邊三角形．理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC；

又∵∠CAP=∠CBP，BD=AP，∴△BCD≌△ACP；∴∠APC=∠D=60°；

∵四邊形ABPC內(nèi)接于⊙O，∴∠DPC=∠BAC=60°；∴∠D=∠DPC=∠DCP=60°；∴△PDC是等邊三角形；

（2）【解析】
△PDC是等邊三角形，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC；

又∵∠CAP=∠CBP，BD=AP，∴△BCD≌△ACP；∴∠APC=∠D=60°；

∵四邊形ABPC內(nèi)接于⊙O，∴∠DPC=∠BAC=60°；∴∠D=∠DPC=∠DCP=60°；∴△PDC是等邊三角形．

考點(diǎn)：1．圓周角定理；2．等邊三角形的判定；3．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．