Question

（12分）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分別為AB、AC邊上的點，AD=AE，AF⊥BE交BC于點F，過點F作FG⊥CD交BE的延長線于點G，交AC于點M。

（1）求證：△ADC≌△AEB ,

（2）判斷△EGM是什么三角形，并證明你的結(jié)論；

（3）猜想線段BG、AF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論。

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）△EGM是等腰三角形，證明詳見解析；（3）BG=AF+FG；證明詳見解析

【解析】

試題分析：（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，

∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，

在△ADC和△AEB中

∴△ADC≌△AEB（SAS），

（2）△EGM為等腰三角形；

理由：∵△ADC≌△AEB，

∴∠1=∠3，

∵∠BAC=90°，

∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，

∴∠4+∠3=90°

∵FG⊥CD，

∴∠CMF+∠4=90°，

∴∠3=∠CMF，

∴∠GEM=∠GME，

∴EG=MG，△EGM為等腰三角形．

（3）線段BG、AF與FG的數(shù)量關(guān)系為BG=AF+FG．

理由：如圖所示：過點B作AB的垂線，交GF的延長線于點N，

∵BN⊥AB，∠ABC=45°，

∴∠FBN=45°=∠FBA．

∵FG⊥CD，

∴∠BFN=∠CFM=90°﹣∠DCB，

∵AF⊥BE，

∴∠BFA=90°﹣∠EBC，∠5+∠2=90°，

由（1）可得∠DCB=∠EBC，

∴∠BFN=∠BFA，

在△BFN和△BFA中

∴△BFN≌△BFA（ASA），

∴NF=AF，∠N=∠5，

又∵∠GBN+∠2=90°，

∴∠GBN=∠5=∠N，

∴BG=NG，

又∵NG=NF+FG，

∴BG=AF+FG．

考點：特殊三角形的綜合運(yùn)用