Question

如圖，已知等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，雙曲線y=

k

x

（k＞0）經(jīng)過邊OB的中點C和AE的中點D，若B點的橫坐標(biāo)為2．
（1）求k的值；
（2）等邊△AFE的周長．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì),反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

專題：

分析：（1）過點C作CM⊥OD于點M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OM、CM的長度，從而得到點C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式列式計算即可得解；
（2）過點D作DN⊥AF于點N，設(shè)AN=m，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出DN的長度，然后表示出點D的坐標(biāo)，再把點D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，解方程得到m的值，從而得解．

解答：解：（1）如圖，

過點C作CM⊥x軸于點M，過點B作BP⊥x于點P，
∴CM∥BP，
∵B點的橫坐標(biāo)為2，點C是等邊△OAB的邊OB的中點，
∴0M=1，OC=2，∠AOB=60°，
∴CM=

3

，
∴點C的坐標(biāo)是（1，

3

），
由

3

=

K

1

，得：k=

3

；

（2）連接OD，作DN⊥x軸于點N，
設(shè)AN=m，
∴0N=4+m，DN=

3

m，
∴D點坐標(biāo)為（4+m，

3

m），
∴（4+m）•

3

m=

3

，
解得m₁=

5

-2，m₂=-

5

-2（舍去）；
∴AN=

5

-2，AD=2

5

-4；
∴AE=4

5

-8；
∴等邊△AFE的周長為12

5

-24．

點評：本題是對反比例函數(shù)的綜合考查，包括待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，等邊三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，難度不大，作出輔助線，表示出點C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．