Question

已知在直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（2，0）．把線段AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BC，過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心為E，圓E交x軸，y軸于兩點(diǎn)分別為D、F．
（1）直接寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)E的坐標(biāo)

 

；
（2）求扇形DEF的面積；
（3）若A（0，a），B（b，0），（a＞0，b＞0）其他條件不變，當(dāng)圓E與x軸相切時，試確定a，b的數(shù)量關(guān)系，并且證明它的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）作CH⊥x軸于H，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BA=BC，∠ABC=90°，再利用“AAS”證明△ABO≌△CBH，則BH=OA=4，CB=OB=2，OH=OB+BH=6，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2），然后根據(jù)圓周角定理得到AC為⊙E的直徑，即E點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，再利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）作EQ⊥AF于Q，EP⊥BD于P，如圖，由E（3，3）得到EQ=3，EP=3，則可高考“HL”證明Rt△EQF≌Rt△EPD，則∠FEQ=∠PED，易得∠DEF=90°，再利用兩點(diǎn)間的距離公式計算出AC=2

10

，從而得到半徑ED=

10

，然后根據(jù)扇形面積公式計算；
（3）由（1）得到BH=OA=a，CH=OB=b，OH=OB+BH=b+a，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（a+b，b），同樣得到E（

a+b

2

，

a+b

2

），于是可判斷點(diǎn)E在第一象限的角平分線上，根據(jù)切線的性質(zhì)，圓E與x軸相切，則切點(diǎn)只能為點(diǎn)B，所以圓E與y軸相切于A點(diǎn)，易得a=b．

解答：解：（1）作CH⊥x軸于H，如圖，
∵線段AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BC，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
而∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBH，
在△ABO和△CBH中

∠AOB=∠BHC ∠BAO=∠CBH AB=BC

，
∴△ABO≌△CBH，
∴BH=OA=4，CH=OB=2，
∴OH=OB+BH=6，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2），
∵∠ABC=90°，
∴AC為⊙E的直徑，即E點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

0+6

2

，

4+2

2

），即（3，3）．
故答案為（6，2），（3，3）；

（2）作EQ⊥AF于Q，EP⊥BD于P，如圖，
∴AQ=FQ，BP=DP，
∵E（3，3），
∴EQ=3，EP=3，
在Rt△EQF和Rt△EPD中

EQ=EP EF=ED

，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴∠FEQ=∠PED，
而∠FEQ+∠FEP=90°，
∴∠PED+∠FEP=90°，即∠DEF=90°，
∵AC=

62+(2-4)2

=2

10

，
∴ED=

10

，
∴扇形DEF的面積=

90•π•( 10 )2

360

=

5

2

π；

（3）a=b．理由如下：
由（1）得到△ABO≌△CBH，
則BH=OA=a，CH=OB=b，
∴OH=OB+BH=b+a，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（a+b，b），
∵AC為⊙E的直徑，即E點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

0+a+b

2

，

a+b

2

），即（

a+b

2

，

a+b

2

），
∴點(diǎn)E在第一象限的角平分線上，
∵圓E與x軸相切，切點(diǎn)只能為點(diǎn)B，
∴點(diǎn)E到x軸的距離為

a+b

2

，
而點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離也為

a+b

2

，
∴圓E與y軸相切于A點(diǎn)，
∴a=b．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會運(yùn)用三角形全等的性質(zhì)證明線段相等；記住線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式和扇形的面積公式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．