Question

【題目】如圖，已知點A是雙曲線y= 在第一象限分支上的一個動點，連結AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊△ABC，點C在第四象限內，且隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變化，但點C始終在雙曲線y= 上運動，則k的值是 ．

Answer 1

【答案】﹣3
【解析】解：設A（a， ），

∵點A與點B關于原點對稱，

∴OA=OB，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB⊥OC，OC= AO，

∵AO= ，

∴CO= ，

如圖，過點C作CD⊥x軸于點D，則可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），

設點C的坐標為（x，y），則tan∠AOD=tan∠OCD，

即 = ，

解得y=﹣ a2x．

在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，

即y2+x2=3a2+ ，

將y=﹣ a2x代入，可得：

x2= ，

故x= ，y=﹣ a，

則xy=﹣3 ，即k=﹣3 ．

所以答案是：﹣3 ．

【考點精析】利用反比例函數的性質和等邊三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減��； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．