Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．點P從點C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運動，同時點Q從B點出發(fā)以2cm/s向C點勻速移動，若一個點到達(dá)目的停止運動時，另一點也隨之停止運動．運動時間為t秒；
（1）用含有t的代數(shù)式表示BQ、CP的長；
（2）寫出t的取值范圍；
（3）用含有t的代數(shù)式表示Rt△PCQ和四邊形APQB的面積；
（4）當(dāng)P、Q處在什么位置時，四邊形PQBA的面積最小，并求這個最小值．

Answer 1

（1）t時刻時，
∵點P從點C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運動，同時點Q從B點出發(fā)以2cm/s向C點勻速移動，
∴CP=t，BQ=2t，
即用含有t的代數(shù)式表示BQ、CP的長為：BQ=2t，CP=t．

（2）∵點P從點C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運動，同時點Q從B點出發(fā)以2cm/s向C點勻速移動，
∴Q的速度是P的兩倍，
∵2AC＜BC，
∴可知P先到達(dá)A點，
且t=

AC

1

=4．
∵若一個點到達(dá)目的停止運動時，另一點也隨之停止運動，
∴t的取值范圍是：0≤t≤4．

（3）由（1）得BQ=2t，CP=t，且BC=12cm，
∴CQ=12-2t，
∴Rt△PCQ的面積為

1

2

×CQ×CP=

1

2

×(12-2t)×t=t（6-t），
∵Rt△ABC的面積為

1

2

×AC×BC=

1

2

×4×12=24，
∴四邊形APQB的面積=Rt△ABC的面積-Rt△PCQ的面積=24-t（6-t）．

（4）由（3）得四邊形APQB的面積為24-t（6-t），
變形為t²-6t+24=（t-3）²+15，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=-

-6

2×1

=3時，取得最小值，解為15．
即CP=3cm，BQ=6cm時面積最小，最小為15cm²．