Question

已知：如圖1，O為正方形ABCD的中心，E為OD延長線上一點(diǎn)，EF∥AD交CA的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：AF=DE；
（2）如圖2，將圖1中的△EOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到△E₁OF₁．
①探究AF₁與DE₁的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
②若當(dāng)α=30°時(shí)，E₁F₁恰好經(jīng)過點(diǎn)A，則

S△OE1F1

S正ABCD

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）應(yīng)用平行線平分線段定理可求得

OA

OF

=

OD

OE

，根據(jù)OA=OD可求得AF=DE；
（2）①由△EOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α可知OA=OD，OE₁=OF₁，∠AOF_1=∠DOE_{1求得三角形全等，從而求得}AF₁=AE₁．
②依據(jù)三角形的面積等于兩個(gè)分割的三角形面積的和，求得

a

b

=

1+ 3

2

，再根據(jù)三角形相似△E₁OF₁∽△AOD面積的比等于相似比的平方，從而求得．

解答：（1）證明：∵EF∥AD
∴

OA

OF

=

OD

OE

∵OA=OD，
∴OF=OE，
∴OF-OA=OE-OD，
∴AF=AE．

（2）①AF₁=DE₁
證明：∵OF=OE，
∴OF₁=OE₁，
在△AOF₁與△DOE₁中

OA=OD ∠AOF1=∠DOE1 OF1=OE1

∴△AOF₁≌△DOE₁（SAS），
∴AF₁=DE₁，
②設(shè)OE₁=OF₁=a，OA=OD=b
∴S △AOF1=

1

2

×sih30°ba=

1

4

ab，
S △AOE1=

1

2

×sin60°ba=

3

4

ab．
∴S △E1OF1=S △AOF1+S △AOE1=（

1+ 3

4

）ab
∵S △E1OF1=

1

2

a²
∴（

1+ 3

4

）ab=

1

2

a²
解得

a

b

=

1+ 3

2

∵△E₁OF_1與△AOD都是等腰直角三角形；
∴△E₁OF₁∽△AOD
∴

S△E1OF1

S△AOD

=（

a

b

）²=（

1+ 3

2

）²=

2+ 3

2

∴

S△OE1F1

S正ABCD

=

S△OE1F1

4S△AOD

=

1

4

×（

2+ 3

2

）=

2+ 3

8

．

點(diǎn)評：本題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，以及圖形分割的問題．