Question

如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC邊的同側(cè)作等邊△DBA，△EBC，△FAC．
（1）試說(shuō)明四邊形AFED是平行四邊形；
（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AFED是矩形，說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AFED是正方形？
（4）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AFED不存在？

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定,矩形的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）由△DBA，△EBC，△FAC都是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=DB，BC=BE，AC=AF，∠ABD=∠EBC=60°，那么∠DBE=∠ABC．利用SAS證明△DBE≌△ABC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出DE=AC，等量代換得到DE=AF，同理DA=EF，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得出四邊形AFED是平行四邊形；
（2）當(dāng)∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形．可先根據(jù)周角的定義求出∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=90°，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形AFED是矩形；
（3）當(dāng)△ABC是頂角為150°的等腰三角形時(shí)，四邊形ADEF是正方形．根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可證明四邊形AFED是正方形；
（4）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，∠DAF=180°，此時(shí)D、A、F三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形就不存在．

解答：解：（1）∵△ABD，△BCE，△FAC是等邊三角形，
∴AB=DB，BC=BE，AC=AF，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠DBE=∠ABC．
在△BDE和△BAC中，

DB=AB ∠DBE=∠ABC BE=BC

，
∴△DBE≌ABC（SAS），
∴DE=AC，
∴DE=AF．
同理可得DA=EF，
∴四邊形AFED是平行四邊形；

（2）當(dāng)∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形．理由如下：
∵∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=360°-60°-150°-60°=90°，
∴?AFED是矩形；

（3）當(dāng)△ABC是頂角為150°的等腰三角形時(shí)，四邊形ADEF是正方形．理由如下：
由（2）可知，當(dāng)∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形，
∵AB=AC，
∴矩形AFED是正方形；

（4）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，∠DAF=180°，
此時(shí)D、A、F三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形就不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形、矩形、正方形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵．