Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）以AD為邊做正方形ADEF，連接CF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①BD⊥CF．②CF=BC-CD．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）①根據(jù)正方形得性質(zhì)得∠DAE=90°，AD=AE，再利用等角的余角相等得到∠BAD=∠CAF，于是可根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△ACF，則∠ABD=∠ACF，利用∠ABD+∠ACB=90°，得到∠ACF+∠ACB=90°，則根據(jù)垂直的定義得到BD⊥CF；
②根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得BD=CF，然后利用BD=BC-CD即可得到結(jié)論；
（2）與（1）中的證明方法一樣可得△ABD≌△ACF，則BD=CF，由于BD=BC+CD，所以CF=BC+CD．

解答：解：（1）①∵四邊形ADEF為正方形，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
即∠DAC+∠CAF=90°，
∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠ABD+∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
即∠DCF=90°，
∴BD⊥CF；
②∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
而BD=BC-CD，
∴CF=BC-CD；
（2）CF=BC+CD．理由如下：
與（1）中的證明方法一樣可得△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
而BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．也考查了正方形得性質(zhì)．