Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，連接AF、DE．
（1）如圖1，若AB=CD，且E、F兩點分別在BA和CD的延長線上，在圖中找出一個與∠BFA相等的角，如：∠BFA=

 

（2）如圖2，若AB≠CD，且E在BA的延長線上，F(xiàn)在CD上，則（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
（3）如圖3，若AD⊥DE，AE=3AD，則tan∠BFA=

 

．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得∠ABC與∠DCB的關(guān)系，根據(jù)AAS，可得△BEC與△CFB的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BF與CE，根據(jù)SAS，可得△BAF與△CDE的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得

OF

OE

=

OB

OC

，

OA

OD

=

OB

OC

，再根據(jù)相似三角形的判定，可得△OAF與△ODE△，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得∠OED=∠OFA，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠DAE與∠CED的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得∠BFA與∠EAD的關(guān)系，根據(jù)等角的正切相等，可得答案．

解答：解：（1）AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，
∴∠BEC=∠CFB=90°，
在△BEC和△CFB中，

∠EBC=∠FCB ∠BEC=∠CFB BC=BC

，
∴△BEC≌△CFB（AAS），
∴CE=BF，∠BCE=∠CBF，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABF=∠DCE，
在△ABF和△DCE中，

AB=DC ∠ABF=∠DCE BF=CE

，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠BFA=∠CED，
故答案為：∠CED；
（2）如圖一：延長BA、CD交于O，，
（1）中的結(jié)論仍然成立，
證明：∵CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，
∴∠CEO=∠∠FO=90°，∠O=∠O，
∴△CEO∽△BFO，
∴

OE

OF

=

OC

OB

．
∵AD∥BC，
∴△ADO∽△BCO，
∴

OA

OB

=

OD

OC

，

OC

OB

=

OD

OA

，
∴

OE

OF

=

OD

OA

，∠O=∠O，
∴△OED∽△OFA，
∴∠OED=∠OFA，
∠CED+∠OED=90°，∠BFA+∠OFA=90°，
∴∠CED=∠BFA；
（3）如圖二：，
CE⊥AB于E，BF⊥CD于F，
由（2）中的結(jié)論得∠CED=∠BFA，
∵AD⊥DE，
∴∠ADE=∠CEB=90°，
由勾股定理得DE=2

2

AD，
∠EAD+∠AED=90°，∠AED+∠DEC=90°，
∴∠EAD=∠CED=∠BFA．
∴tan∠BFA=tan∠EAD=

DE

AD

=

2 2 AD

AD

=2

2

，
故答案為：2

2

．

點評：本題考查了相似形綜合題，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，題目有點難度，（2）中構(gòu)造出相似三角形是解題關(guān)鍵．