Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=20cm，BC=15cm，動點P從點A出發(fā)，以每秒4cm的速度沿AB方向運動，到達點B時停止運動．過點P作AB的垂線交斜邊AC于點E，將△APE繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DPF．設(shè)點P在邊AB上運動的時間為t（秒）．
（1）當(dāng)點F與點B重合時，求t的值；
（2）當(dāng)△DPF與△ABC重疊部分的圖形為四邊形時，設(shè)此四邊形的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點M是DF的中點，當(dāng)點M恰好在Rt△ABC的內(nèi)角角平分線上時，求t的值；
（4）在點P的運動過程中，圖中出現(xiàn)多少個彼此相似但互不全等的三角形，并寫出相應(yīng)的t值．

Answer 1

考點：相似形綜合題,角平分線的性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）由條件可得AP=4t，易證△APE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PE=3t，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PE=PF，然后根據(jù)PF+AP=AB建立方程，就可求出t的值．
（2）先用t的代數(shù)式表示出DE長及△DPF的面積，然后證明△DGE∽△ABC，再求出△ABC的面積，然后運用相似三角形性質(zhì)（相似三角形的面積比等于相似比的平方）將△DGE的面積用t的代數(shù)式表示，就可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）設(shè)DF交AC于點G，過點M作MH⊥AB于點H，過點M作MN⊥BC于點N，如圖3，先分別用t的代數(shù)式表示出MG、MH、MN的長，然后運用角平分線的性質(zhì)建立等量關(guān)系，就可求出t的值．
（4）由于點P在AB上運動，因此t的范圍是0＜t＜5．可以先考慮臨界位置（圖1和圖5）所對應(yīng)的t的值，然后分情況討論．由于△DGE和△OBF是△DPF的一部分，因此△DGE與△DPF不可能全等，△OBF與△DPF不可能全等，同樣△APE與△ABC也不可能全等，只有△DGE與△OBF、△DGE與△OGC、△OBF與△OGC、△APE與△OGC、△ABC與△AGF可能全等，在討論的過程中只要把三角形全等的所以情況都考慮到，問題就能解決．

解答：解：（1）如圖1，

∵△APE繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DPF，
∴∠D=∠A，∠DFP=∠AEP，∠DPB=∠APE=90°，
AP=DP，EP=FP，AE=DF．
∵點F與點B重合，
∴PB=PF．
∴EP=BP．
∵AB=20，AP=4t，
∴EP=BP=20-4t．
∵∠APE=∠ABC=90°，
∴PE∥BC．
∴△APE∽△ABC，
∴

PE

BC

=

AP

AB

，
∵BC=15，AP=4t，AB=20，
∴PE=3t．
∵EP=BP=20-4t，
∴3t=20-4t．
解得：t=

20

7

．
∴t的值為

20

7

（秒）．

（2）當(dāng)△DPF與△ABC重疊部分的圖形為四邊形時，如圖2，

此時0＜t≤

20

7

．
∵PE∥BC，
∴∠DEG=∠C．
又∵∠D=∠A，
∴△DGE∽△ABC．
∴

S△DGE

S△ABC

=（

DE

AC

）²．
∵∠B=90°，AB=20，BC=15，
∴AC=25，S_△ABC=

1

2

×20×15=150．
∵DE=DP-EP=AP-EP=4t-3t=t，
∴

S△DGE

150

=（

t

25

）²．
∴S_△DGE=

6t2

25

．
∵S_△DPF=S_△APE=

1

2

AP•EP=

1

2

×4t×3t=6t²，
∴S=S_△DPF-S_△DGE=6t²-

6t2

25

=

144t2

25

．
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=

144t2

25

．其中0＜t≤

20

7

．

（3）設(shè)DF交AC于點G，過點M作MH⊥AB于點H，過點M作MN⊥BC于點N，如圖3，

∵△DEG∽△ACB，
∴∠DGE=∠B=90°，

DG

AB

=

DE

AC

．
∵DE=t，AB=20，AC=25，
∴DG=

4t

5

．
∵∠APE=90°，AP=4t，PE=3t，
∴AE=5t．
∴DF=AE=5t
∵點M是DF的中點，
∴DM=FM=

1

2

DF=

5t

2

．
∴MG=DM-DG=

5t

2

-

4t

5

=

17t

10

．
∵∠MHF=∠DPF=90°，
∴MH∥DP．
∴△FNM∽△FPD．
∴

MH

DP

=

FM

FD

FH

FP

．
∴MH=

1

2

DP=2t，F(xiàn)H=

1

2

FP=

1

2

EP=

3t

2

．
∴PH=FH=

3t

2

．
∴HB=AB-AP-PH=20-4t-

3t

2

=20-

11t

2

．
∵∠MHB=∠B=∠MNB=90°，
∴四邊形MNBH是矩形．
∴MN=HB=20-

11t

2

．
①當(dāng)點M在∠A的角平分線上時，
∵MG⊥AC，MH⊥AB，
∴MG=MH．
∴

17t

10

=2t．
解得：t=0．（舍去）
②當(dāng)點M在∠B的角平分線上時，
∵MH⊥AB，MN⊥BC，
∴MH=MN．
∴2t=20-

11t

2

．
解得：t=

8

3

．
③當(dāng)點M在∠C的角平分線上時，
∵MG⊥AC，MN⊥BC，
∴MG=MN．
∴

17t

10

=20-

11t

2

．
解得：t=

25

9

．
綜上所述：當(dāng)點M恰好在Rt△ABC的內(nèi)角角平分線上時，t的值為

8

3

（秒）或

25

9

（秒）．

（4）①當(dāng)點F與點B重合時，如圖1，

此時t=

20

7

，△APE≌△DPF，
該圖中有5個三角形彼此相似但不全等，分別是△DGE、△APE（或△DPB）、△AGB、△ABC、△BGC．
②當(dāng)點G與點C重合時，如圖5，

∵∠ABC=∠ACF=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACF．
∴

AB

AC

=

AC

AF

．
∴AC²=AB•AF．
∴25²=20×7t
∴t=

125

28

．
此時該圖中有5個三角形彼此相似但不全等，分別是△DCE、△APE（或△DPF）、△ABC、△ACF、△CBF．
③當(dāng)0＜t＜

20

7

時，如圖2，

此時△APE≌△DPF，
該圖中有4個三角形彼此相似但不全等，分別是△DGE、△APE（或△DPF）、△AGF、△ABC．
④當(dāng)

20

7

＜t＜

125

28

時，
則有△APE≌△DPF，AP=DP=4t，PF=PE=3t，AE=DF=5t，DE=t，DG=

4t

5

，EG=

3t

5

，
BF=AP+PF-AB=7t-20，GC=AC-AE-EG=25-5t-

3t

5

=25-

28t

5

．
Ⅰ．若△APE≌△OGC，如圖4①，

則有GC=PE，即25-

28t

5

=3t．
解得：t=

125

43

．
此時該圖中有5個三角形彼此相似但不全等，分別是△DGE、△APE（或△DPF或△OGC）、△ABC、△AGF、△OBF．
Ⅱ．若△DGE≌△OBF，如圖4②，

則有GE=BF，即

3t

5

=7t-20．
解得：t=

25

8

．
此時該圖中有5個三角形彼此相似但不全等，分別是△DGE（或△OBF）、△APE（或△DPF）、△ABC、△AGF、△OGC．
Ⅲ．若△OGC≌△OBF，如圖4③，

則有GC=BF，即25-

28t

5

=7t-20．
解得：t=

25

7

．
此時BF=GC=5，
所以AF=25=AC，AG=20=AB．
所以Rt△ABC≌Rt△AGF（HL）．
此時該圖中有4個三角形彼此相似但不全等，分別是△DGE、△APE（或△DPF）、△ABC（或△AGF）、△OGC（或△OBF）．
Ⅳ．若△DGE≌△OGC，如圖4④，

則有GE=GC，即

3t

5

=25-

28t

5

．
解得：t=

125

31

．
此時該圖中有5個三角形彼此相似但不全等，分別是△DGE（或△OGC）、△APE（或△DPF）、△ABC、△AGF、△OBF．
Ⅴ．當(dāng)

20

7

＜t＜

125

28

，且t≠

125

43

，t≠

25

8

，t≠

25

7

，t≠

125

31

時，
此時該圖中有6個三角形彼此相似但不全等，分別是△DGE、△APE（或△DPF）、△ABC、△AGF、△OGC、△OBF．
⑤當(dāng)

125

28

＜t＜5時，如圖6，

此時該圖中有2個三角形彼此相似但不全等，分別是△APE（或△DPF）、△ABC．
綜上所述：當(dāng)圖中出現(xiàn)2個彼此相似但互不全等的三角形時，t的取值范圍為

125

28

＜t＜5；
當(dāng)圖中出現(xiàn)4個彼此相似但互不全等的三角形時，t的取值范圍為0＜t＜

20

7

或t=

25

7

；
當(dāng)圖中出現(xiàn)5個彼此相似但互不全等的三角形時，t的取值范圍為

20

7

、

125

43

、

25

8

、

125

31

、

125

28

；
當(dāng)圖中出現(xiàn)6個彼此相似但互不全等的三角形時，t的取值范圍為當(dāng)

20

7

＜t＜

125

28

，且t≠

125

43

、t≠

25

8

、t≠

25

7

、t≠

125

31

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，還重點考查了分類討論的思想，難度系數(shù)較大，而找準(zhǔn)臨界位置并將三角形全等考慮全面是解決第四小題的關(guān)鍵．