Question

【題目】已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF．
（1）如圖①，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是（只需寫出三種情況）： ①；②；③ ．
（2）如圖②，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是⊙O的切線．
（3）如圖③，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠ABC，EF還是⊙O的切線嗎？若是，請說明理由；若不是，請解釋原因．

Answer 1

【答案】
（1）AB⊥EF、；∠BAE=90°；∠ABC=∠EAC
（2）證明：如圖2，作直徑AD，連結(jié)CD，

∵AD為直徑，

∴∠ACD=90°，

∴∠D+∠CAD=90°，

∵∠D=∠B，∠CAE=∠B，

∴∠CAE=∠D，

∴∠EAC+∠CAD=90°，

∴AD⊥EF，

∴EF為⊙O的切線；

（3）如圖3，作直徑AD，連結(jié)CD，BD，

∵AD為直徑，

∴∠ABD=90°，

∵∠CAE=∠ABC，

∴∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC，

而∠DAC=∠DBC，

∴∠DAE=∠ABD=90°，

∴AD⊥EF，

∴EF為⊙O的切線．

【解析】（1）解：當(dāng)AB⊥EF或∠BAE=90°可判斷EF為⊙O的切線； 當(dāng)∠ABC=∠EAC，∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AB⊥EF，
∴EF為⊙O的切線；
所以答案是AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC；

【考點(diǎn)精析】掌握切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．