【題目】如圖,矩形紙片ABCD,P是AB的中點(diǎn),Q是BC上一動(dòng)點(diǎn),△BPQ沿PQ折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,延長(zhǎng)QE交AD于M點(diǎn),連接PM.
(1)求證:△PAM≌△PEM;
(2)當(dāng)DQ⊥PQ時(shí),將△CQD沿DQ折疊,點(diǎn)C落在線段EQ上點(diǎn)F處.
①求證:△PAM∽△DCQ;
②如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①見(jiàn)解析,②6
【解析】
(1)由矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得PE=PB,∠PEM=∠B=90°,由P點(diǎn)為AB中點(diǎn)可得PA=PB=PE,因?yàn)橛泄策?/span>PM,所以利用HL即可證明△PAM≌△PEM;(2)①由(1)可得∠APM=∠EPM,根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠EPQ=∠BPQ,由∠B=90°,DQ⊥PQ可得∠BPQ+∠PQB=90°,∠PQB+∠DQC=180°-∠PQD=90°.進(jìn)而可證明∠AMP=∠DQC,即可證明△PAM∽△DCQ;②設(shè)AP=x,則BP=AP=EP=x,AB=DC=2x,根據(jù)△AMP∽△BPQ可得BQ=x2,根據(jù)△AMP∽△CQD得CQ=2,進(jìn)而可得AD=x2+2,根據(jù)sin∠DMF=列方程即可求出x的值,根據(jù)AB=2AP即可得答案.
(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:PE=PB,∠PEM=∠B=90°;
∵P點(diǎn)為AB中點(diǎn),
∴PA=PB=PE.
又∵PM=PM,
∴△PAM≌△PEM.
(2)①由(1)知△PAM≌△PEM,
∴∠APM=∠EPM.
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:∠EPQ=∠BPQ,
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°,
∵∠APM+∠AMP=90°,
∴∠BPQ=∠AMP,
∵∠B=90°,DQ⊥PQ,
∴∠BPQ+∠PQB=90°,∠PQB+∠DQC=180°-∠PQD=90°.
∴∠BPQ=∠DQC,
∴∠AMP=∠DQC.
又∵∠A=∠C=90°,
∴△AMP∽△CQD.
②設(shè)AP=x,則BP=AP=EP=x,AB=DC=2x,
∵由①知∠BPQ=∠AMP,∠A=∠B=90°,
∴△AMP∽△BPQ.
∴,即BQ=x2.
由△AMP∽△CQD得:,即CQ=2.
AD=BC=BQ+CQ=x2+2.
∵在Rt△FDM中,sin∠DMF=,DF=DC=2x,
∴,
變形得:3x2-10x+3=0,
解方程得:x1=3,x2=(不合題意,舍去)
∴AB=2x=6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一艘漁船位于港口A的北偏東60°方向,距離港口20海里的B處,它沿北偏西37°方向航行至C處突然出現(xiàn)故障,在C處等待救援,B,C之間的距離為10海里,救援船從港口A出發(fā),經(jīng)過(guò)20分鐘到達(dá)C處,求救援船的航行速度.(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,≈1.732,結(jié)果取整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù) y=mx2﹣2mx+n 的圖象經(jīng)過(guò)(0,﹣3).
(1)n= _____________;
(2) 若二次函數(shù) y=mx2﹣2mx+n 的圖象與 x 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),求 m 值;
(3) 若二次函數(shù) y=mx2﹣2mx+n 的圖象與平行于 x 軸的直線 y=5 的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ;
(4) 如圖,二次函數(shù) y=mx2﹣2mx+n 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3,0),連接 AC,點(diǎn) P 是拋物線位于線段 AC 下方圖象上的任意一點(diǎn),求△PAC 面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 是⊙的直徑,點(diǎn)是⊙上一點(diǎn), 與過(guò)點(diǎn)的切線垂直,垂足為點(diǎn),直線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),弦平分∠,交于點(diǎn),連接.
(1)求證: 平分∠;
(2)求證:PC=PF;
(3)若,AB=14,求線段的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,按要求完成下面的問(wèn)題:
(1)以圖中的O為位似中心,將△ABC作位似變換且縮小到原來(lái)的一半,得到△A'B'C',再把△A'B'C'繞點(diǎn)B'逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A″B'C″;
(2)求點(diǎn)A→A'→A″所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+b與反比例函數(shù)y=的圖形交于A(a,4)和B(4,1)兩點(diǎn).
(1)求b,k的值;
(2)在第一象限內(nèi),當(dāng)一次函數(shù)y=﹣x+b的值大于反比例函數(shù)y=的值時(shí),直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(3)將直線y=﹣x+b向下平移m個(gè)單位,當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線,過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線,兩線交于點(diǎn)P.
①求證:四邊形CODP是菱形.
②若AD=6,AC=10,求四邊形CODP的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著移動(dòng)終端設(shè)備的升級(jí)換代,手機(jī)已經(jīng)成為我們生活中不可缺少的一部分,為了解中學(xué)生在假期使用手機(jī)的情況(選項(xiàng):A.和同學(xué)親友聊天;B.學(xué)習(xí);C.購(gòu)物;D.游戲;E.其它),端午節(jié)后某中學(xué)在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,得到如下圖表(部分信息未給出):根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生有多少人?
(2)求表中m,n,p的值,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)若該中學(xué)約有800名學(xué)生,估計(jì)全校學(xué)生中利用手機(jī)購(gòu)物或玩游戲的共有多少人?并根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果,就中學(xué)生如何合理使用手機(jī)給出你的一條建議.
選項(xiàng) | 頻數(shù) | 頻率 |
A | 10 | m |
B | n | 0.2 |
C | 5 | 0.1 |
D | p | 0.4 |
E | 5 | 0.1 |
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