【題目】如圖,RtFHG中,H=90°,FHx軸,,則稱RtFHG為準黃金直角三角形(GF的右上方).已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點E0,),頂點為C1,),點D為二次函數(shù)圖像的頂點.

1)求二次函數(shù)y1的函數(shù)關系式;

2)若準黃金直角三角形的頂點F與點A重合、G落在二次函數(shù)y1的圖像上,求點G的坐標及FHG的面積;

3)設一次函數(shù)y=mx+m與函數(shù)y1、y2的圖像對稱軸右側(cè)曲線分別交于點P、Q. P、Q兩點分別與準黃金直角三角形的頂點F、G重合,求m的值并判斷以C、D、Q、P為頂點的四邊形形狀,請說明理由.

【答案】1y=(x-1)2-4;(2)點G坐標為(3.6,2.76),SFHG=6.348;(3m=0.6,四邊形CDPQ為平行四邊形,理由見解析.

【解析】

1)利用頂點式求解即可,2)將G點代入函數(shù)解析式求出坐標,利用坐標的特點即可求出面積,3)作出圖象,延長QH,交x軸于點R,由平行線的性質(zhì)得證明AQR∽△PHQ,Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中,即可證明四邊形CDPQ為平行四邊形.

1)設二次函數(shù)的解析式是y=a(x-h)2+k,(a≠0),由題可知該拋物線與y軸交于點E0,),頂點為C1,),

y=a(x-1)2-4,代入E0),解得a=1,

2)設G[a,0.6(a+1)],代入函數(shù)關系式,

得,

解得a1=3.6,a2=-1(舍去),

所以點G坐標為(3.6,2.76.

SFHG=6.348

3y=mx+m=mx+1),

x=-1時,y=0

所以直線y=mx+m

延長QH,交x軸于點R,

由平行線的性質(zhì)得,QRx.

因為FHx軸,

所以∠QPH=QAR,

因為PHQ=ARQ=90°

所以AQR∽△PQH,

所以 =0.6,

Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中,

mn+m=0.6n+1),mn+1=0.6n+1),

因為n+1≠0

所以m=0.6..

因為y2=x-1-m2+0.6m-4,

所以點D由點C向右平移m個單位,再向上平移0.6m個單位所得,

Dy軸的平行線,x軸與K,再作CTKD,KD延長線與T,

所以=0.6,

所以tanKSD=tanQAR,

所以KSD=QAR,

所以AQCS,即CDPQ.

因為AQCS,由拋物線平移的性質(zhì)可得,CT=PH,DT=QH,

所以PQ=CD,

所以四邊形CDPQ為平行四邊形.

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