【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠ABC的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E,∠BED的角平分線EF與DC交于點(diǎn)F,若AB=8,DF=3FC,則BC=__________.
【答案】6+2.
【解析】
先延長EF和BC,交于點(diǎn)G,再根據(jù)條件可以判斷三角形ABE為等腰直角三角形,并求得其斜邊BE的長,然后根據(jù)條件判斷三角形BEG為等腰三角形,最后根據(jù)△EFD∽△GFC得出比例式,DF=3FC計(jì)算得出CG與DE的倍數(shù)關(guān)系,并根據(jù)BG=BC+CG進(jìn)行計(jì)算即可.
解:延長EF和BC,交于點(diǎn)G
∵矩形ABCD中,∠B的角平分線BE與AD交于;
∴∠ABE=∠AEB=45°,
∴AB=AE=8,
∴直角三角形ABE中,BE=8,
又∵∠BED的角平分線EF與DC交于點(diǎn)F,
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=8,
∵∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,
∴△EFD∽△GFC
∵DF=3FC,
設(shè)CG=x,DE=3x,則AD=8+3x=BC
∵BG=BC+CG
∴8=8+3x+x
解得x=2-2,
∴BC=8+3(2-2)=6+2,
故答案為:6+2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD平分∠ABC.求作⊙O,使得點(diǎn)O在邊AB上,且⊙O經(jīng)過B、D兩點(diǎn);并證明AC與⊙O相切.(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系x0y中,對于圖形G,若存在一個(gè)正方形γ,這個(gè)正方形的某條邊與x軸垂直,且圖形G上的所有的點(diǎn)都在該正方形的內(nèi)部或者邊上,則稱該正方形γ為圖形G的一個(gè)正覆蓋.很顯然,如果圖形G存在一個(gè)正覆蓋,則它的正覆蓋有無數(shù)個(gè),我們將圖形G的所有正覆蓋中邊長最小的一個(gè),稱為它的緊覆蓋.如圖所示,圖形G為三條線段和一個(gè)圓弧組成的封閉圖形,圖中的三個(gè)正方形均為圖形G的正覆蓋,其中正方形ABCD就是圖形G的緊覆蓋.
(1)對于半徑為2的⊙0,它的緊覆蓋的邊長為 .
(2)如圖1,點(diǎn)P為直線y=-2x+3上一動點(diǎn),若線段OP的緊覆蓋的邊長為2,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,直線y=3x+3與x軸,y軸分別交于A,B,
①以0為圓心,r為半徑的⊙0與線段AB有公共點(diǎn),且由⊙0與線段AB組成的圖形G的緊覆蓋的邊長小于4,直接寫出r的取值范圍;
②若在拋物線y=ax2+2ax-2(a≠0)上存在點(diǎn)C,使得△ABC的緊覆蓋的邊長為3,直接寫出a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形的邊長是,動點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā),以的速度分別沿運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為,四邊形的面積為,則與的函數(shù)關(guān)系圖象大致為( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△FHG中,H=90°,FH∥x軸,,則稱Rt△FHG為準(zhǔn)黃金直角三角形(G在F的右上方).已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)E(0,),頂點(diǎn)為C(1,),點(diǎn)D為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)y1的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若準(zhǔn)黃金直角三角形的頂點(diǎn)F與點(diǎn)A重合、G落在二次函數(shù)y1的圖像上,求點(diǎn)G的坐標(biāo)及△FHG的面積;
(3)設(shè)一次函數(shù)y=mx+m與函數(shù)y1、y2的圖像對稱軸右側(cè)曲線分別交于點(diǎn)P、Q. 且P、Q兩點(diǎn)分別與準(zhǔn)黃金直角三角形的頂點(diǎn)F、G重合,求m的值并判斷以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形形狀,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,AD、BD分別是△ABC的內(nèi)角∠BAC、∠ABC的平分線,過點(diǎn)A作AE⊥AD,交BD的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:∠E=∠C;
(2)如圖2,如果AE=AB,且BD:DE=2:3,求cos∠ABC的值;
(3)如果∠ABC是銳角,且△ABC與△ADE相似,求∠ABC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小李在學(xué)習(xí)了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”之后做了如下思考,請你幫他完成如下問題:
(1)他認(rèn)為該定理有逆定理:“如果一個(gè)三角形某條邊上的中線等于該邊長的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形”應(yīng)該成立.即如圖①,在中,是邊上的中線,若,求證:.
(2)如圖②,已知矩形,如果在矩形外存在一點(diǎn),使得,求證:.(可以直接用第(1)問的結(jié)論)
(3)在第(2)問的條件下,如果恰好是等邊三角形,請求出此時(shí)矩形的兩條鄰邊與的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:點(diǎn)P在△ABC的邊上,且與△ABC的頂點(diǎn)不重合.若滿足△PAB、△PBC、△PAC至少有一個(gè)三角形與△ABC相似(但不全等),則稱點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn).如圖①,已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(1,0)、(3,0)、(0,1).
(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),求證點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn);
(2)求除點(diǎn)(2,0)外△ABC所有自相似點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖②,過點(diǎn)B作DB⊥BC交直線AC于點(diǎn)D,在直線AC上是否存在點(diǎn)G,使△GBD與△GBC有公共的自相似點(diǎn)?若存在,請舉例說明;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用長的籬笆圍成一個(gè)矩形花園(籬笆只圍、兩邊).
(1)若圍成的花園面積為,求花園的邊長;
(2)在點(diǎn)處有一顆樹與墻,的距離分別為和,要能將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界,不考慮樹的粗細(xì)),又使得花園面積有最大值,求此時(shí)花園的邊長.
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