【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+mx+n與x軸正半軸交于A,B兩點(點A在點B左側(cè)),與y軸交于點 C.
(1)若△OBC是等腰直角三角形,且其腰長為3,求拋物線的解析式;
(2)在(1)的條件下,點P為拋物線對稱軸上的一點,則PA+PC的最小值為 .
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)3.
【解析】
(1)先根據(jù)等腰直角三角形的腰長求出OB=OC=3,進而求出點B,C坐標,最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;
(2)先確定出拋物線的對稱軸,進而求出點C'的坐標,找出PA+PC的最小值為AC',再求出點A坐標,即可得出結(jié)論.
(1)如圖1,連接BC,
∵△OBC是等腰直角三角形,∠BOC=90°,
∴OB=OC,
∵腰長為3,
∴OB=OC=3,
∴B(3,0),C(0,3),
將點B(3,0),C(0,3)代入拋物線解析式y=x2+mx+n中,得,,
∴,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3;
(2)如圖2,由(1)知,拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴拋物線的對稱軸直線為x=2,
∵點C(0,3),
∴點C關(guān)于拋物線的對稱軸x=2的對稱點C'(4,3),
連接AC'交拋物線的對稱軸于P,此時,PA+PC的值最小,最小值為AC',
針對于拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3,令y=0,則x2﹣4x+3=0,
解得,x=1或x=3,
∴A(1,0),
∵C'(4,3),
∴AC',
即:PA+PC的最小值為,
故答案為:.
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【題目】為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校開展“經(jīng)典誦讀”比賽活動,誦讀材料有《論語》、《大學》、《中庸》(依次用字母A,B,C表示這三個材料),將A,B,C分別寫在3張完全相同的不透明卡片的正面上,背面朝上洗勻后放在桌面上,比賽時小禮先從中隨機抽取一張卡片,記下內(nèi)容后放回,洗勻后,再由小智從中隨機抽取一張卡片,他倆按各自抽取的內(nèi)容進行誦讀比賽.
(1)小禮誦讀《論語》的概率是 ;(直接寫出答案)
(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求他倆誦讀兩個不同材料的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中有兩點A(6,0),B(0,3),如果點C在x軸上(C與A不重合),當點C的坐標為 時,△BOC與△AOB相似.
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【題目】網(wǎng)絡(luò)比網(wǎng)絡(luò)的傳輸速度快10倍以上,因此人們對產(chǎn)品充滿期待.華為集團計劃2020年元月開始銷售一款產(chǎn)品.根據(jù)市場營銷部的規(guī)劃,該產(chǎn)品的銷售價格將隨銷售月份的變化而變化.若該產(chǎn)品第個月(為正整數(shù))銷售價格為元/臺,與滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系:且第個月的銷售數(shù)量(萬臺)與的關(guān)系為.
(1)該產(chǎn)品第6個月每臺銷售價格為______元;
(2)求該產(chǎn)品第幾個月的銷售額最大?該月的銷售價格是多少元/臺?
(3)若華為董事會要求銷售該產(chǎn)品的月銷售額不低于27500萬元,則預計銷售部符合銷售要求的是哪幾個月?
(4)若每銷售1萬臺該產(chǎn)品需要在銷售額中扣除元推廣費用,當時銷售利潤最大值為22500萬元時,求的值.
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【題目】下表是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x,y的部分對應(yīng)值:
x | … | 0 | 1 | 2 | … | ||||
y | … | ﹣1 | m | ﹣1 | n | … |
則對于該函數(shù)的性質(zhì)的判斷:①該二次函數(shù)有最大值;②不等式y>﹣1的解集是x<0或x>2;③方程ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根分別位于﹣<x<0和2<x<之間;④當x>0時,函數(shù)值y隨x的增大而增大;其中正確的是( 。
A.②③B.②④C.①③D.③④
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【題目】在平面直角坐標系x0y中,對于圖形G,若存在一個正方形γ,這個正方形的某條邊與x軸垂直,且圖形G上的所有的點都在該正方形的內(nèi)部或者邊上,則稱該正方形γ為圖形G的一個正覆蓋.很顯然,如果圖形G存在一個正覆蓋,則它的正覆蓋有無數(shù)個,我們將圖形G的所有正覆蓋中邊長最小的一個,稱為它的緊覆蓋.如圖所示,圖形G為三條線段和一個圓弧組成的封閉圖形,圖中的三個正方形均為圖形G的正覆蓋,其中正方形ABCD就是圖形G的緊覆蓋.
(1)對于半徑為2的⊙0,它的緊覆蓋的邊長為 .
(2)如圖1,點P為直線y=-2x+3上一動點,若線段OP的緊覆蓋的邊長為2,求點P的坐標;
(3)如圖2,直線y=3x+3與x軸,y軸分別交于A,B,
①以0為圓心,r為半徑的⊙0與線段AB有公共點,且由⊙0與線段AB組成的圖形G的緊覆蓋的邊長小于4,直接寫出r的取值范圍;
②若在拋物線y=ax2+2ax-2(a≠0)上存在點C,使得△ABC的緊覆蓋的邊長為3,直接寫出a的取值范圍.
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【題目】現(xiàn)種植A、B、C三種樹苗一共480棵,安排80名工人一天正好完成,已知每名工人只植一種樹苗,且每名工人每天可植A種樹苗8棵;或植B種樹苗6棵,或植C種樹苗5棵.經(jīng)過統(tǒng)計,在整個過程中,每棵樹苗的種植成本如圖所示.設(shè)種植A種樹苗的工人為x名,種植B種樹苗的工人為y名.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)種植的總成本為w元,
①求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
②若種植的總成本為5600元,從植樹工人中隨機采訪一名工人,求采訪到種植C種樹苗工人的概率.
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【題目】如圖,Rt△FHG中,H=90°,FH∥x軸,,則稱Rt△FHG為準黃金直角三角形(G在F的右上方).已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點E(0,),頂點為C(1,),點D為二次函數(shù)圖像的頂點.
(1)求二次函數(shù)y1的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若準黃金直角三角形的頂點F與點A重合、G落在二次函數(shù)y1的圖像上,求點G的坐標及△FHG的面積;
(3)設(shè)一次函數(shù)y=mx+m與函數(shù)y1、y2的圖像對稱軸右側(cè)曲線分別交于點P、Q. 且P、Q兩點分別與準黃金直角三角形的頂點F、G重合,求m的值并判斷以C、D、Q、P為頂點的四邊形形狀,請說明理由.
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【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,M為BC邊上一動點(M不與B、C重合)
(1)如圖1,若∠MAC=45°,求;
(2)如圖2,將CM繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至CN,連接BN,T為BN的中點,連接AT.
①求證:AM=2AT;
②當AB=AC=2時,直接寫出CM+4AT的最小值為 .
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