Question

如圖所示，△ABC是邊長為4厘米的等邊三角形，兩個動點P，Q同時從A點出發(fā)，點P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向運動，點Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向運動，作CH⊥AB于H點，設(shè)P、Q運動的時間為t秒．
解答下列問題：
（1）點P、Q從出發(fā)到相遇所用的時間是

 

秒；
（2）在P、Q兩點運動過程中，當t取何值時，△APQ≌△AHC？并請說明理由；
（3）當0＜t＜2時，∠APQ始終是直角，請畫出示意圖并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定,等邊三角形的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)題意得t+2t=12，然后解方程即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AH=2，由于∠PAQ=∠HAC，利用“SAS”，當AP=AH=2，AQ=AC=4時，△APQ≌△AHC，則4=2t=4，解得t=2（秒）；
（3）當0＜t＜2時，點P在AC上，點Q在AB上，如圖，由于AP=t，AQ=2t，易得

AP

AH

=

AQ

AC

，加上∠PAQ=∠HAC，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△PAQ∽△HAC，所以∠APQ=∠AHC=90°．

解答：解：（1）根據(jù)題意得t+2t=12，解得t=4，
即點P、Q從出發(fā)到相遇所用的時間是4秒；
故答案為4；
（2）當t=2秒時，△APQ≌△AHC．理由如下：
∵△ABC是邊長為4厘米的等邊三角形，CH⊥AB，
∴AH=2，
∵∠PAQ=∠HAC，
∴當AP=AH=2，AQ=AC=4時，△APQ≌△AHC，
∴4=2t=4，解得t=2（秒），
即當t=2秒時，△APQ≌△AHC；
（3）當0＜t＜2時，點P在AC上，點Q在AB上，如圖，
則AP=t，AQ=2t，
∵

AP

AH

=

t

2

，

AQ

AC

=

2t

4

=

t

2

，

∴

AP

AH

=

AQ

AC

，
而∠PAQ=∠HAC，
∴△PAQ∽△HAC，
∴∠APQ=∠AHC=90°，
即∠APQ始終是直角．

點評：本題考查了全等三角形的判定：三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．