Question

如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相關(guān)于點(diǎn)O，且AC=16，BD=12，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸正半軸上移動，若△POE為等腰三角形，則P的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：

分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E為AD中點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，易求得OE的長，然后分別從①當(dāng)OP=OE時，②當(dāng)OE=PE時，③當(dāng)OP=EP時去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=

1

2

AC=

1

2

×12=6，OD=

1

2

BD=

1

2

×16=8，
∴在Rt△AOD中，AD=

OA2+OD2

=10，
∵E為AD中點(diǎn)，
∴OE=

1

2

AD=

1

2

×10=5，
①當(dāng)OP=OE時，P點(diǎn)坐標(biāo)（-5，0）（舍）和（5，0）；
②當(dāng)OE=PE時，此時點(diǎn)P與D點(diǎn)重合，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0）；
③如圖，

當(dāng)OP=EP時，過點(diǎn)E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分線PF，交OE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)P，
∴EK∥OA，
∴EK：OA=ED：AD=1：2，
∴EK=

1

2

OA=3，
∴OK=

OE2-EK2

=4，
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，
∴△POF∽△EOK，
∴OP：OE=OF：OK，
即OP：5=

5

2

：4，
解得：OP=

25

8

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

25

8

，0）．
∴所有符合這個條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，0），（8，0），（

25

8

，0）．

點(diǎn)評：此題考查菱形的性質(zhì)、三角形的中位線等知識點(diǎn)，滲透分類討論思想．