Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM、BN是它的切線，E在⊙O上，OD∥BE交AM于D，DE交BN于C，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，連OF交BE于T
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若TF=2，OT=3，求AB長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）證明：連結(jié)OE，由OD∥BE得到∠1=∠2，∠3=∠4，而∠1=∠3，則∠2=∠4，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAM=∠OBN=90°，然后根據(jù)”SAS”可判斷△OAD≌△OED，得到∠OED=∠OAD=90°，于是根據(jù)切線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）作DH⊥BC與H，易得AB=DH，AD=BH，OF為梯形ABCD的中位線，則OF=

1

2

（AD+BC），則AD+BC=10，根據(jù)切線長定理DA=DE，CB=CE，所以DC=10，則DF=5，再證明∠5=∠6，∠ETF=∠6得到∠ETF=∠5，則得到FE=FT=2，然后計(jì)算出DE=3，BC=7，CH=4，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出DH，即可得到AB的長．

解答：（1）證明：連結(jié)OE，如圖，
∵OE=OB，
∴∠1=∠3，
∵OD∥BE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=∠4，
∵AB是⊙O的直徑，AM、BN是它的切線，
∴∠OAM=∠OBN=90°．
在△OAD和△OED中，

OA=OE ∠4=∠2 OD=OD

，
∴△OAD≌△OED（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE為⊙O的切線；

（2）解：作DH⊥BC與H，如圖，
∵∠OAM=∠OBN=90°，
∴四邊形ABHD為矩形，
∴AB=DH，AD=BH，
∵F為CD中點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，
∴OF為梯形ABCD的中位線，
∴OF=

1

2

（AD+BC），
∴AD+BC=2（OT+TF）=2（3+2）=10，
∵DC與⊙O切于E點(diǎn)，
∴DA=DE，CB=CE，
∴DC=DE+CE=AD+BC=10，
∴DF=5，
∵CB=CE，
∴∠5=∠6，
∵TF∥BC，
∴∠ETF=∠6，
∴∠ETF=∠5，
∴FE=FT=2，
∴DE=DA=DF-EF=5-2=3，
∴BC=10-3=7，
∴CH=BC-BH=7-3=4，
在Rt△DHC中，DH=

DC2-CH2

=

102-42

=2

21

，
∴AB=2

21

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了切線長定理、梯形的中位線性質(zhì)以及勾股定理．