Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)C為圓⊙O上一點(diǎn)，PC=8，PB=4，AB=12，求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：連接BC，OC，AC，證△PCB∽△PAC，推出∠PCB=∠A=∠ACO，∠CBA=∠OCB，根據(jù)圓周角定理求出∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，推出∠OCP=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．

解答：
證明：連接BC，OC，AC，
∵PC=8，PB=4，AB=12，
∴

PC

PA

=

8

4+12

=

1

2

，

PB

PC

=

4

8

=

1

2

，
∴

PC

PA

=

PB

PC

，
∵∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴∠PCB=∠A，
∵OA=OC，OB=OC，
∴∠A=∠ACO，∠CBO=∠OCB，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PC，
即PC是⊙O的切線．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出OC⊥PC，題目比較好，難度適中．