Question

探究：如圖①，△ABC是等邊三角形，以點B為頂點作∠PBQ=60°，BQ交邊AC于點D，過點A作AE∥BC，AE交BP于點E．
求證：AD+AE=AB；
應(yīng)用：在圖①的基礎(chǔ)上，將∠PBQ繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)，如圖②，使BQ交AC的延長線于點D，BP交邊AC于點G．若AB=8，AE=2，則GD的長為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：探究：證△ABE≌△CBD，然后根據(jù)等邊三角形三邊相等即可求得．
應(yīng)用：由探究可知AE=CD，然后平行線分線段成比例定理即可求得．

解答：探究：證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵∠PBQ=60°，
∴∠ABC-∠ABQ=∠PBQ-∠ABQ，
即∠ABE=∠CBD．
∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠ABC=60°，
∴∠EAB=∠ACB，
在△ABE與△CBD中

∠ABE=∠CBD AB=BC ∠EAB=∠ACB

∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD．
∵AC=AD+CD，
∵AC=AB，
∴AD+AE=AB．        

應(yīng)用：解：∵AE∥BC，
∴

AE

BC

=

AG

GC

=

AG

AC-AG

，
∴

2

8

=

AG

8-AG

，
解得：AG=1.6，
由探究可知△ABE≌△CBD，
∴AE=CD．
∴AD=AC+CD=10，
∴GD=10-1.6=8.4．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段定理的應(yīng)用．