Question

四邊形ADBC是由等邊△ABC和頂角為120°的等腰△ABD拼成，將一個60°角頂點放在點D處，60°角兩邊分別交直線BC、AC于M、N，交直線AB于F、E兩點．

（1）當(dāng)E、F分別在邊AB上時（如圖1），試問 2AE、BM、AC三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（提示連接CD）請證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)E、F分別在射線AB、BA上時，（如圖2、圖3），2AE、BM、AC三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．
（3）如圖3，連接MN，若AB=8，MN=16，AN=2，則AE=

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接CD，根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線可得CD垂直平分AB，再根據(jù)等腰三角形和等邊三角形的對稱性求出∠BCD=30°，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BAD=30°，從而得到∠BCD=∠BAD，再求出∠ADE=∠DEM，然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似求出△ADE和△CDM相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理即可得解；
（2）與（1）求解思路相同；
（3）把△ADN繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△BDH，根據(jù)∠DAN=∠DBC=90°判斷出點H在BC上，再求出∠MDN=∠MDH，然后利用“邊角邊”證明△MDN和△MDH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=MH，然后求出CM，再根據(jù)AE=

1

2

CM求解即可．

解答：解：（1）如圖1，連接CD，
∵△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰三角形，
∴AC=BC，AD=BD，
∴CD垂直平分AB，
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

×60°=30°，
∵∠ADB=120°，
∴∠BAD=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠ADE+∠CDN=∠CDM+∠CDN=60°，
∴∠ADE=∠CDM，
在△ADE和△CDM中，

∠BCD=∠BAD ∠ADE=∠CDM

，
∴△ADE∽△CDM，
∴

AE

CM

=

AD

CD

，
∵∠CAD=∠BAC+∠BAD=60°+30°=90°，∠ACD=30°，
∴CD=2AD，
∴AE=

1

2

CM=

1

2

（BC-BM）=

1

2

（AC-BM），
∴2AE+BM=AC；

（2）同理可求∠BCD=∠BAD=30°，
∵∠ADE=∠ADC+∠CDN=60°+∠CDN，
∠CDM=∠MDN+∠CDN=60°+∠CDN，
∴∠ADE=∠CDM，
在△ADE和△CDM中，

∠BCD=∠BAD ∠ADE=∠CDM

，
∴△ADE∽△CDM，
∴

AE

CM

=

AD

CD

，
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=60°+30°=90°，∠ACD=30°，
∴CD=2AD，
∴AE=

1

2

CM=

1

2

（BC+BM）=

1

2

（AC+BM），
∴2AE=BM+AC；

（3）如圖3，把△ADN繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△BDH，
∵∠DAN=∠DBC=60°+30°=90°，
∴點H在BC上，
∴DN=DH，
∵∠MDH=∠120°-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDN=∠MDH，
在△MDN和△MDH中，

DN=DH ∠MDN=∠MDH DM=DM

，
∴△MDN≌△MDH（SAS），
∴MN=MH，
∴CM=MH-CH=MN-（BC-BH）=16-（8-2）=10，
∴AE=

1

2

CM=

1

2

×10=5．
故答案為：5．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，（1）（2）求出相似三角形是解題的關(guān)鍵，（3）作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出CM的長度是解題的關(guān)鍵．