Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PC的垂線交AD于點(diǎn)E，以PE為邊作正方形PEFG，頂點(diǎn)G在線段PC上. 對(duì)角線EG、FP相交于點(diǎn)O.

（1）若AP=3，求AE的長(zhǎng)；

（2）連接AC，判斷點(diǎn)O是否在AC上，并說(shuō)明理由；

（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，正方形PEFG也隨之運(yùn)動(dòng)，求DE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）AE=；（2）見(jiàn)解析；（3）DE的最小值為3.

【解析】試題分析：

（1）由已知易證∠A=∠B=∠EPG=90°，由此可得∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，從而可得∠AEP=∠BPC，這樣可證得△APE∽△BCP，再由相似三角形的性質(zhì)結(jié)合AB=BC=4，AP=3即可求得AE的長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)O分別作AB、AD的垂線，垂足分別為M、N，由已知條件易證△OPM≌△OEN，可得OM=ON，由此可得點(diǎn)O在∠BAD的平分線上，由正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得AC是∠BAD的平分線，從而說(shuō)明點(diǎn)O在AC上；

（3）設(shè)AP=x，則BP=4﹣x，由（1）可知：△APE∽△BCP，從而可得，即 ，解得：AE=x﹣x2=﹣（x﹣2）2+1，結(jié)合AE+DE=AD=4可得DE=（x﹣2）2+3，由此即可得到DE的最小值為3.

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形，

∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，

∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，

∴∠AEP=∠BPC，

∴△APE∽△BCP，

∴，即，

解得：AE=；

（2）點(diǎn)O在AC上，理由：過(guò)點(diǎn)O分別作AD、AB的垂線，垂足分別為M、N,證得OM=ON，證得點(diǎn)O在∠BAD的平分線上，證得AC是∠BAD的平分線，所以，點(diǎn)O在AC上。

（3）設(shè)AP=x，則BP=4﹣x，由（1）可知：△APE∽△BCP，

∴，即 ，

解得：AE=x﹣x2=﹣（x﹣2）2+1，

∵AE+DE=AD=4，

∴DE=（x﹣2）2+3，

∴DE的最小值為3.