Question

如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線并在其上取一點C，連接OC交⊙O于點D，BD的延長線交AC于E，連接AD．

（1）求證：△CDE∽△CAD；

（2）若AB=2，AC=2，求AE的長．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析

（2）

【解析】

試題分析：(1)由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則有∠B+∠BAD=90°，由AC為⊙O的切線得∠BAD+∠DAE=90°，則∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，則∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，則可得到△CDE∽△CAD；

（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，由勾股定理可得OC=3，則CD=OC﹣OD=2，由△CDE∽△CAD，根據(jù)相似比可計算出CE的長，從而可得AE的長

試題解析：（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵AC為⊙O的切線，

∴BA⊥AC，

∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

而∠ODB=∠CDE，

∴∠B=∠CDE，

∴∠CAD=∠CDE，

而∠ECD=∠DCA，

∴△CDE∽△CAD；

（2）∵AB=2，

∴OA=1，

在Rt△AOC中，AC=2，

∴OC==3，

∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，

∵△CDE∽△CAD，

∴=，即=，

∴CE=．

∴AE=AC-CE=

考點：1、圓周角定理；2、切線的性質(zhì)；3、相似三角形的判定與性質(zhì)；4勾股定理