【題目】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)M在AB上,且滿(mǎn)足△PBC∽△PAM,延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)N,連結(jié)CM.

1如圖一,若點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上,求證:AP⊥BN;AM=AN;

2如圖二,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,滿(mǎn)足△PBC∽△PAM的點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),APBN和AM=AN是否成立?

是否存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P,使得PC=?(不需說(shuō)明理由).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①仍然成立,AP⊥BN和AM=AN. ②這樣的點(diǎn)P不存在.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠PAM=∠PBC,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明,得到AP⊥BN,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比線(xiàn)段求出AM與AN的數(shù)量關(guān)系;

(2)①同(1)的證明方法類(lèi)似;

②根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

試題解析:(1)如圖一中,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,

∵△PBC∽△PAM,∴∠PAM=∠PBC, ,∴∠PBC+∠PBA=90°,∴∠PAM+∠PBA=90°,

∴∠APB=90°,∴AP⊥BN,∵∠ABP=∠ABN,∠APB=∠BAN=90°,

∴△BAP∽△BNA,∴,∴,∵AB=BC,∴AN=AM.

(2)①仍然成立,AP⊥BN和AM=AN.

理由如圖二中,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,

∵△PBC∽△PAM, ∴∠PAM=∠PBC, ,∴∠PBC+∠PBA=90°,

∴∠PAM+∠PBA=90°, ∴∠APB=90°,∴AP⊥BN,∵∠ABP=∠ABN,∠APB=∠BAN=90°,

∴△BAP∽△BNA,∴,∴,∵AB=BC,∴AN=AM.

②這樣的點(diǎn)P不存在.理由:假設(shè)PC=,如圖三中,以點(diǎn)C為圓心為半徑畫(huà)圓,以AB為直徑畫(huà)圓, CO= = >1+,∴兩個(gè)圓無(wú)公共點(diǎn),∴∠APB<90°,這與AP⊥PB矛盾,

∴假設(shè)不可能成立,∴滿(mǎn)足PC=的點(diǎn)P不存在.

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