Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖：

第一步，分別以點A、D為圓心，以大于AD的長為半徑在AD兩側作弧，交于兩點M、N；第二步，連接MN分別交AB、AC于點E、F；第三步，連接DE、DF．

（1）求證：四邊形AEDF是菱形；

（2）若BD=6，AF=4，CD=3，求BE的長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8．

【解析】試題分析：（1）利用直線MN是線段AD的垂直平分線，得出AD平分∠BAC，進而得出DE∥AC，同理DF∥AE，即可得出四邊形ADCE是菱形；

（2）利用菱形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可得出結果．

試題解析：（1）證明∵根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線，

∴AE=DE，AF=DF，

∴∠EAD=∠EDA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠EDA=∠CAD，

∴DE∥AC，

同理DF∥AE，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∵AE=DE

∴AEDF是菱形．

（2）∵AEDF是菱形．

∴AE=DE=DF=AF，

∵AF=4，

∴AE=DE=DF=AF=4，

∵DE∥AC，

∴，

∵BD=6，AE=4，CD=3，

∴，

∴BE=8．